Do $x>y nên x-y>0, bất đẳng thức đã cho:x^2+y^2\geq 2\sqrt{2}(x-y)\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)-2\sqrt{2}(x-y)+2xy\geq 0.\Leftrightarrow (x-y)^2-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0(vì xy=1)\Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^2\geq 0( luôn đúng). dấu "=" xảy ra\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy=1\\ x-y=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.hoặc \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.$
Do $x>y nên x-y>0, bất đẳng thức đã cho tương đương:x^2+y^2\geq 2\sqrt{2}(x-y)\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)-2\sqrt{2}(x-y)+2xy\geq 0\Leftrightarrow (x-y)^2-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0 (vì xy=1) \Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^2\geq 0(luôn đúng)$.Dấu"=" xảy ra <=>$\left\{ \begin{array}{l} xy=1\\ x-y=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.hoặc \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.$
Do $x>y nên x-y>0, bất đẳng thức đã cho:x^2+y^2\geq 2\sqrt{2}(x-y)\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)-2\sqrt{2}(x-y)+2xy\geq 0
.\Leftrightarrow (x-y)^2-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0(vì xy=1)\Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^2\geq 0(
luôn đúng).
dấu
"=" xảy ra
\Left
rig
ht
arrow \left\{ \begin{array}{l} xy=1\\
x-y=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.hoặc \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.$