Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 4xy$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Cho nên $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.
Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0<t\leq3$.Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 0$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Suy ra $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.
Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq
4xy$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.
Cho nên $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.