Quay lại đáp án

$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1 +\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2-1$$\geq 8 - 1 + \frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Mà theo Bunhia-Copxki: $(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$$\Leftrightarrow 9\geq(x+y+z)^2$$\Rightarrow x+y+z\leq3$$$\Rightarrow T\geq 7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Cần chứng minh:$6\leq7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2 $$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq xy+yz+zx+3$$ \Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy+2yz+2zx) \geq 5(xy+yz+zx)+3 $$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2\leq 5(xy+yz+zx)+3$$ \Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2-5(xy+yz+zx)-3\leq 0$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Vì $xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=3$Nên $(xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Nên, bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng với $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đề bài.Vậy, $T\geq6 \Leftrightarrow x=y=z=1$

$T=\frac{16}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1}+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1 +\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2-1$$\geq 8 - 1 + \frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z-1}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Mà theo Bunhia-Copxki: $(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$$\Leftrightarrow 9\geq(x+y+z)^2$$\Rightarrow x+y+z\leq3$$\Rightarrow T\geq 7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$Cần chứng minh:$6\leq7+\frac{xy+yz+zx+1}{2}-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2$$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq xy+yz+zx+3$$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy+2yz+2zx) \geq 5(xy+yz+zx)+3$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2\leq 5(xy+yz+zx)+3$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2-5(xy+yz+zx)-3\leq 0$$\Leftrightarrow (xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Vì $xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=3$Nên $(xy+yz+zx-3)(2xy+2yz+2zx+1)\leq0$Nên, bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng với $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đề bài.Vậy, $T\geq6 \Leftrightarrow x=y=z=1$