a) Gọi $IJ$ cắt $BC$ tại $K$.
Do $K$ nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ nên $OK$ cắt được $AC$ tại $H$, cắt được $AB$ tại $L$.
 Như vậy thiết diện cần tìm là $IJHL$.

Câu a và câu b bạn tham khảo tại đây nhé. Sau đó làm tương tự
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/107355/bai-107354

c)
Từ câu b) thì $y \in \mathbb{Z} \iff x \in \mathbb{Z} \iff \frac{1}{m+1} \in \mathbb{Z} \iff m \in \left\{ -2;0{} \right\}$

b) Tọa độ giao điểm $I$ là nghiệm của hệ
$\begin{cases} mx+y-3=0\\x+my-2m-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} mx+y=3\\x+my=2m+1 \end{cases}  (*)$
Với $m=-1$, hệ (*) vô nghiệm nên tập hợp các điểm I là $\emptyset$
Với $m=1$, hệ (*) vô số nghiệm nên tập hợp các điểm I là toàn bộ đường thẳng $x+y=3$
Với $m \ne \pm 1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1}{m+1} \\ y= \frac{2m+3}{m+1}\end{cases}      \implies y=2+x$
nên tập hợp các điểm I là đường thẳng $y=2+x$.

a)
$mx+(y-3)=0   \forall x \implies x=0, y=3$. $d_1$ đi qua điểm $(0; 3)$ cố định.
$x+my-2m-1=0 \iff m(y-2)+x-1=0   \forall x \implies x=1, y=2$. $d_2$ đi qua điểm $(1; 2)$ cố định.

Thêm một chút áo thuật nữa nhé..
Đặt $\sqrt[3]{81x-8}=3y-2$
Ta có $81x-8=27y^3-54y^2+36y-8 \Leftrightarrow y^3-2y^2+ \frac{4}{3}y-3x=0         (1)$ 
Mặt khác từ phép đặt ẩn phụ $3y-2=x^{3}-{2}x^{2}+\frac{4}{3}x-2 \Leftrightarrow x^3-2x^2+ \frac{4}{3}x-3y=0    (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có hệ PT đối xứng. Trừ theo từng vế hai PT ta được
$(x-y)(x^2+y^2+xy-2x-2y+\frac{13}{3}) = 0$.
Ta lại có $x^2+y^2+xy-2x-2y+\frac{13}{3}=\frac{1}{2}(x+y)^2 +\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}(y-2)^2 +\frac{1}{3} >0 $ với mọi $x,y$
Suy ra $x=y$.
Thay trở về phép đặt và tìm ra nghiệm được như cách trên.
Bạn có thể tham khảo tại đây để biết rõ chi tiết nhé
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113295/phuong-phap-dat-an-phu-de-giai-phuong-trinh-co-hai-phep-toan-nguoc-nhau

Từ $ x, y \in [0;1] $ ta có thể đặt $ x = \sin a , y = \sin b $ với $ a, b \in [0, \frac{\pi}{2}] $
BĐT cần chứng minh
$ \iff 2 \cos a \cos b \le 2( 1 - \sin a )( 1- \sin b ) +1 $
$ \iff 2\cos a \cos b \le 2\sin a \sin b -2( \sin a + \sin b ) +3 $
$ \iff 2( -\cos a \cos b + \sin a \sin b ) - 2( \sin a + \sin b ) + 3 \ge 0 $
$ \iff - 2 \cos (a+b) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + 3 \ge 0 $
$ \iff 2( 2 \sin^2 \frac{a+b}{2} -1 ) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} +3 \ge 0 $
$ \iff \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + \frac{1}{4} \ge 0       (1)$ 
Chú ý rằng
$ \begin{cases}
\sin \frac{a+b}{2} \ge 0 \\
0 \le \cos \frac{a-b}{2} \le 1
\end{cases}$
Do đó Vế trái $(1)  \ge \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} + \frac{1}{4} = (\sin \frac{a+b}{2} - \frac{1}{2})^2 \ge 0 = $ Vế phải $(1)$ , đây là đpcm.

PT
$\iff\sqrt[3]{81x-8}-(3x-2)=x(x^2-2x-\frac 53)$

$\iff (81x-8)-(3x-2)^3=x(x^2-2x-\frac 53)(\sqrt[3]{(81x-8)^2}+(3x-2)\sqrt[3]{81x-8}+(3x-2)^2)$

$\iff -27x(x^2-2x-\frac 53)=x(x^2-2x-\frac 53)(\sqrt[3]{(81x-8)^2}+(3x-2)\sqrt[3]{81x-8}+(3x-2)^2)$
dễ thấy $x=0$ là một nghiệm và $x^2-2x-\frac 53=0\iff x=1\pm \frac{2\sqrt 6}3$
Ta có $-27=(\sqrt[3]{(81x-8)^2}+(3x-2)\sqrt[3]{81x-8}+(3x-2)^2)$ vô nghiệm vì Vế phải $>0$ $\forall x$
Vậy PT có nghiệm : $\boxed{x\in\{1- \frac{2\sqrt 6}3,0,1+ \frac{2\sqrt 6}3\}}$

Lý do mà bạn sai có lẽ là GPT $\tan 2x = \cot 7x$ mà không chú ý tới điều kiện.
Điều kiện:
$\left\{ \begin{array}
  2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi   \\
7x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi   \\
\end{array}  \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( 1 \right)  \\
  x \ne \frac{\pi }{{14}} + \frac{{k\pi }}{7}\left( 2 \right)  \\

\end{array}  \right.$,$k \in \mathbb{Z}$
Với điều kiện trên phương trình tương đương:
$\sin 2x\sin 7x = \cos 2x\cos 7x$
$ \Leftrightarrow \cos 9x = 0$                    
$ \Leftrightarrow 9x = \frac{\pi }{2} + m\pi $       
$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9} (3) m \in \mathbb{Z}$
Ta xét xem nghiệm của (3) có thoả điều kiện (1), (2) hay không:
Xét điều kiện (1):
Ta giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9} \Leftrightarrow 4m - 18k = 7$
Dễ dàng nhận thấy phương trình trên có $\left( {4,18} \right) = 2$ không phải là ước của $7$ nên phương trình nghiệm nguyên vô nghiệm.
Vậy nghiệm (3) luôn thoả mãn (1)
Xét điều kiện (2):
Ta giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$\frac{\pi }{{14}} + \frac{{k\pi }}{7} = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9}$
$ \Leftrightarrow 7 + 14m = 9 + 18k$
$ \Leftrightarrow 7m - 9k = 1$ có nghiệm riêng tổng quát là:
$\left\{ \begin{array}
  m = 4 + 9t  \\
  k = 3 + 7t  \\
\end{array}  \right.$   ,$t \in \mathbb{Z}$
Do vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
$x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9}$, với $m \in \mathbb{Z}$và $m \ne 9t + 4,n \in \mathbb{Z}$.

Giả sử $x$ là nghiệm nguyên của PT, khi đó ta có:
$\cos \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 160x + 800} } \right)} \right] = 1$
$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{8}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 160x + 800} } \right) = k2\pi $ ($k \in \mathbb{Z}$)
$\begin{array}
   \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 160x + 800}  = 3x - 16k  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3x - 16k \ge 0  \\
  9{x^2} + 160x + 800 = {\left( {3x - 16k} \right)^2}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3x - 16k \ge 0  \\
  x = \frac{{8{k^2} - 25}}{{3k + 5}}  \\
\end{array}  \right.$        $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3x - 16k \ge 0  \\
  9x = 24k - 40 - \frac{{25}}{{3k + 5}}  \\
\end{array}  \right.$$\left( 1\right)$
$ \Rightarrow \frac{{25}}{{3k + 5}} \in \mathbb{Z}$, suy ra :$k \in \left\{ {{\text{0; - 2; - 10}}} \right\}$  $\left(2 \right)$
Từ  $\left( 2 \right)$ , bằng cách thử trực tiếp vào$\left( 1 \right)$ ta được:
          $\left[ \begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  k =  - 2  \\
  x =  - 7  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left\{ \begin{array}
  k =  - 10  \\
  x =  - 31  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.$

Đặt $t=\cot x$ thì
$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}=\frac{\frac{2}{\tan x}}{\frac{1}{\tan^2 x}+1}=\frac{2t}{1+t^2}$ 
PT $\Leftrightarrow \frac{2t}{1+t^2}+2t=3\Leftrightarrow 2t+2t(1+t^2)-3(1+t^2)=0\Leftrightarrow (t-1)(2t^2-t+3)=0$ 
$\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}+ k \pi (k \in \mathbb{Z} )$ 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta được
$\displaystyle{\frac{3a_1a_2a_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{a_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{a_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{a_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{a_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{a_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{a_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
$\displaystyle{\frac{3b_1b_2b_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{b_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{b_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{b_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{b_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{b_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{b_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
$\displaystyle{\frac{3c_1c_2c_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{c_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{c_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{c_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{c_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{c_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{c_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
Cộng theo từng vế của ba BĐT trên ta được
$\displaystyle{\frac{3(a_1a_2a_3+b_1b_2b_3+c_1c_2c_3)}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} } \le 3}$
Từ đây suy ra BĐT Holder được chứng minh.

Điều kiện:   ${\cos ^2}x + \sin x - 1 \ne 0$      $ \Leftrightarrow \sin x - \sin ^2x \ne 0$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}\sin x \ne 0  \\\sin x \ne 1 \end{cases} $                      
$ \Leftrightarrow \begin{cases}x \ne k\pi   \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \end{cases}$     $\left( 1 \right)$
Với điều kiện đó phương trình tương đương:
     $\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + \sin x\cos x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow $$\cos x(\sin x - \cos x) = 0$
$ \Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \cos x = 0  \\
\sin x = \cos x \end{matrix}} \right.$      
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = \frac{\pi }{2} + k\pi   \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi   \end{matrix}} \right.$  ,$k \in \mathbb{Z}$        $\left( 2 \right)$
Kết luận: nghiệm của phương trình đã cho là:                    
$x =\frac{\pi }{4} + k\pi $,  $k \in \mathbb{Z}$.

Để chứng minh bài toán này bạn cần biết BĐT Holder dạng
$(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3) \ge (a_1a_2a_3+b_1b_2b_3+c_1c_2c_3)^3$
với $a_i, b_i, c_i >0   i=1,2,3$.
Áp dụng BĐT này
$\left( \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2(xy+yz+xz)\geq(x+y+z)^3$
Việc còn lại là đi chứng minh $(x+y+z)^3\geq9(xy+xz+yz)$.
Nhưng điều này là hiển nhiên thấy vì $x+y+z\geq3$ và $(x+y+z)^2\geq3(xy+xz+yz)$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.