Bài toán của bạn khá giống với bài toán sau đây. Bạn cố gắng thử giải quyết nó nhé..
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113635/giai-he-phuong-trinh

Điều kiện
$\begin{cases}x \ge 0 \\ x^2-4x+1 \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x \ge 2+\sqrt 3 \\ 2-\sqrt 3 \ge x \ge 0\end{matrix}} \right.      (*)$
Với điều kiện trên thì BPT
$\Leftrightarrow x+1- 3\sqrt{x}\geq \sqrt{x^2-4x+1}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+1- 3\sqrt{x} \ge 0     \text {hiển nhiên đúng do} (*)\\ (x+1- 3\sqrt{x})^2 \ge x^2-4x+1  \end{cases}$
$\Leftrightarrow (x+1- 3\sqrt{x})^2 \ge x^2-4x+1$
$\Leftrightarrow 2x\sqrt x-5x+2\sqrt x \ge 0$
$\Leftrightarrow 2x-5\sqrt x+2 \ge 0$   ,do $\sqrt x \ge 0$.
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sqrt x \ge 2 \\ \sqrt x \le \frac{1}{2}\end{matrix}} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}  x \ge 4 \\ 0\le x \le \frac{1}{4}\end{matrix}} \right. $
Kiểm tra lại thấy thỏa mãn $(*)$. Vậy đây là nghiệm của BPT đã cho.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có $y'=4x^3-4x(m^2-m+1)$.
Chú ý rằng $m^2-m+1 > 0          \forall m $.
Do đó $y'=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=0\\ x_2=\sqrt{m^2-m+1} \\ x_3=-\sqrt{m^2-m+1} \end{matrix}} \right.$
Nhận thấy $A(x_2;y_2), B(x_3;y_3)$ là các điểm cực tiêu của hàm số, và thay $x_2, x_3$ vào PT hàm số ta tìm được
$y_2=y_3=m-1-(m^2-m+1)^2$
Ta có $AB^2=(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2=4(m^2-m+1)=(4m^2-4m+1)+3 = (2m-1)^2+3 \ge    \forall m $.
Do đó $\min AB= \sqrt 3 \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$.

$\left\{ \begin{array}{l} x^2y^2-2x+y^2=0    (1)\\ 2x^2-4x+3+y^3=0    (2)\end{array} \right.$
 Từ PT $(2)\Leftrightarrow 2x^2-4x+2=-1-y^3\Leftrightarrow 2(x-1)^2=-1-y^3$
 Nhận thấy rằng $(x-1)^2 \ge 0     \forall x \implies -1-y^3 \ge 0 \implies y^3 \le -1 \implies y \le -1 \implies y^2 \ge 1$.
 Từ đây suy ra $x^2y^2-2x+y^2 \ge x^2-2x+1=(x-1)^2 \ge 0 $.
Tức là , $x^2y^2-2x+y^2 \ge 0$. Mặt khác thì PT $(1)$ xảy ra nên ta phải có $x=1, y=-1$. Đây cũng là nghiệm duy nhất của HPT.

Trước hết thấy rằng $(C)$ là đường tròn tâm $I(2;-1)$ bán kính $R=2$.
Để $MN$ là tiếp tuyến của $(C)$ thì khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $MN$ phải bằng bán kính của $(C)$.
Tiếp theo viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M, N$. Có hai trường hợp
+ $m=n \implies (MN) : x=m $. Khoảng cách $h$ từ $I$ đến đường thẳng $MN$ được tính bởi công thức
$h=|2-m|$. Ta cần có $h=R=2\Leftrightarrow |2-m|=2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m=n=4\\ m=n=0 \end{matrix}} \right.$
+ $m \ne n \implies (MN) : \frac{x-n}{m-n}=\frac{y-0}{3-0}\Leftrightarrow (m-n)y-3x+3n=0 $. Khoảng cách $h$ từ $I$ đến đường thẳng $MN$ được tính bởi công thức
$h=\frac{|n-m-6+3n|}{\sqrt{(m-n)^2+3^2}}$. Ta cần có $h=R=2\Leftrightarrow\frac{|4n-m-6|}{\sqrt{(m-n)^2+9}}=2.$

Viết lại phương trình đã cho dưới dạng    $x^3-6x^2=-m            (*)$.
Bây giờ hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2$. Thao tác chi tiết bạn hãy tập làm nhé, mình xin đưa ra kết quả là bảng biến thiên như sau
$\begin{array}{c|ccccccccc}
x  &-\infty & \; & \; & 0 & \; & \; &  4 & \; & \; &  +\infty \\
\hline
y' & \; &+ & \; & 0 & \; & - &  0 & \; & + & \; & \\
\hline
\;  & \; & \; & \; & \; 0 & \; & \; & \; & \; & \: & +\infty    \\
y & \; & \; & \nearrow  &  \; & \; &  \searrow & \; &  \;  \nearrow \\
\quad & -\infty & \; & \; & \; & \; & \: & -32
\end{array}$




Nhìn vào bảng biến thiên và đồ thị, chú ý rằng PT $y=-m$ là những đường thẳng song song với trục hoành, vì thế để PT $(*)$ có ba nghiệm phân biệt thì $-32<-m<0 \Leftrightarrow 0<m<32.$

Bạn đọc tự chứng minh công thức sau coi như bài tập nhé.
$\cot 2x - \tan 2x = 2\cot 4x$
Với điều kiện $\sin 2x, \cos 2x, \sin 3x \ne 0 $ thì
PT $\Leftrightarrow (\cot 2x - \tan 2x )-2\cot 3x+\cot 2x - \cot 3x=0$
      $\Leftrightarrow 2\cot 4x-2\cot 3x+\cot 2x - \cot 3x=0$
      $\Leftrightarrow 2.\frac{\sin x}{\sin 4x \sin 3x}-\frac{\sin x}{\sin 2x \sin 3x}=0$
      $\Leftrightarrow 2\sin 2x=\sin 4x$
      $\Leftrightarrow \cos 2x=1$
      $\Leftrightarrow x=k \pi     (k \in \mathbb{Z}).$
Như thấy giá trị này không thỏa mãn điều kiện. Vậy PT đã cho vô nghiệm.

Chú ý rằng
$\cos (\frac{\pi}{6}-x )=\sin \left (\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{6}-x) \right )=\sin (x+\frac{\pi}{3} )$
$\cos 2(x+\frac{\pi}{3} )=1-2\sin^2 (x+\frac{\pi}{3} )$.
Như vậy
PT $\Leftrightarrow 1-2\sin^2 (x+\frac{\pi}{3} )+4\sin (x+\frac{\pi}{3} )=\frac{5}{2}$
     $\Leftrightarrow \sin^2 (x+\frac{\pi}{3} )-2\sin (x+\frac{\pi}{3} )+\frac{3}{4}=0$
     $\Leftrightarrow \sin (x+\frac{\pi}{3} )=\frac{1}{2}$
     $\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix}} \right.  (k\in \mathbb{Z}).$

Xét PT tương giao
$\frac{x+1}{2x+1}=mx+\frac{m+1}{2}\Leftrightarrow 4mx^2+4mx+m-1=0\Leftrightarrow m(2x+1)^2=1$.
Từ đây ta cần điều kiện $m>0$ để hai điểm $B, C$ tồn tại phân biệt.
Như vậy ta có
$x_B=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}, x_C=\frac{-1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$.
Thay tọa độ $B, C$ và PT đường thẳng $(d)$ ta có
$y_B=\frac{1+\sqrt m}{2 \sqrt m}, y_C=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$.
Suy ra
$OB^2+OC^2=x_B^2+y_B^2+x_C^2+y_C^2=\frac{m+1}{2m}+\frac{m+1}{2}=\frac{(m+1)^2}{2m}=\frac{(m-1)^2}{2m}+2 \ge 2.$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của $OB^2+OC^2$ bằng $2$ đạt được khi và chỉ khi $m=1$.

Từ giả thiết $\Rightarrow (a+1)(b+1)=4$.
$P=\frac{3a(a+1)+3b(b+1)}{ (a+1)(b+1)} +\frac{ab}{a+b} -a^2 -b^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2)+\frac{3}{4}(a+b)+\frac{ab}{a+b} -a^2 -b^2 $
 $P=-\frac{1}{4}(a^2+b^2)+\frac{3}{4}(a+b)+\frac{3-(a+b)}{a+b}$
 Đặt $a+b=x \implies x=3-ab \ge 3- \frac{x^2}{4}\implies x \ge 2$.
 $P=-\frac{1}{4}(x^2+2x-6)+\frac{3}{4}x+\frac{3}{x}-1=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x+\frac{3}{x}+\frac{1}{2}=f(x)$
 ta có $f'(x)=-\frac{2x^3-x^2+12}{4x^2} < 0    \forall x\ge 2.$
 Như vậy $f$ nghịch biến nên $f(x) \le f(2)=\frac{3}{2}$.
 Vậy $\max P =\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=1.$

Với đề bài như trên và điều kiện $\sin 2x \ne 0$ thì
PT $\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2x}-\sin 2x+\frac{1}{2\sin x}-\sin x+2\cot 2x=0$
      $\Leftrightarrow \frac{1-\sin^2 2x}{\sin 2x}+\frac{1-2\sin^2 x}{2\sin x}+\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}=0$
      $\Leftrightarrow \cos^2 2x+\cos 2x.\cos x+2\cos 2x=0 $     
      $\Leftrightarrow \cos 2x\left (\cos 2x+\cos x+2 \right )=0 $
      $\Leftrightarrow \cos 2x\left (2\cos^2x+\cos x+1 \right )=0 $
      $\Leftrightarrow \cos 2x=0 $ (do $2\cos^2x+\cos x+1>0   \forall x$)
      $\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}         (k \in \mathbb{Z}).$

Xét phương trình tương giao
      $x^3+3x^2+1=(2m-1)x-4m-1$
$\Leftrightarrow x^3+3x^2+x+2=2m(x-2)$
$\Leftrightarrow g(x)=\frac{x^3+3x^2+x+2}{x-2}=2m            (1)$
(Dễ thấy $x \ne 2$).
Ta có $g'(x)=\frac{-4-12 x-3 x^2+2 x^3}{(-2+x)^2} $
PT $g'(x)=0 $ có ba nghiệm "không đẹp" $\begin{cases}x_1\approx -1,54526 \\ x_2\approx -0,378076\\ x_3\approx 3,42334\end{cases}$.
Lập bảng biến thiên của hàm $g(x)$ và ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g(x_1) < 2m < g(x_3)\Leftrightarrow -0,55403<m<28,34885$