*, $n$ là số tự nhiên lẻ, $n=2k+1, k\in \mathbb{N}$. Như vậy BPT đã cho trở thành
$\sqrt[2k+1]{x} - \sqrt[2k+1]{x-a} \geq \sqrt[2k+1]{2a} - \sqrt[2k+1]{a} (2)$
Xét hàm số $f(x)=\sqrt[2k+1]{x} - \sqrt[2k+1]{x-a}$,
có $f'(x)=\displaystyle{\frac{1}{(2k+1)\sqrt[2k+1]{x^{2k}}}-\frac{1}{(2k+1)\sqrt[2k+1]{(x-a)^{2k}}}=\frac{(x-a)^{\frac{2k}{2k+1}}-x^{\frac{2k}{2k+1}}}{(2k+1)^2\sqrt[2k+1]{x^{2k}}\sqrt[2k+1]{(x-a)^{2k}}}}$
Bây giờ ta xét các khả năng sau
+, Nếu $x\ge a$ thì làm tương tự như trường hợp $n$ chẵn ta cũng thu được kết quả $a \le x \le 2a.$
+, Nếu $x <0 $, ta có :
$\displaystyle{g(x)=(x-a)^{\frac{2k}{2k+1}}-x^{\frac{2k}{2k+1}}=x^{\frac{2k}{2k+1}}\left ((1-\frac{a}{x})^{\frac{2k}{2k+1}}-1 \right )}$
Thấy rằng với $x<0$ thì $1-\frac{a}{x} > 1 \implies g(x) >0 \implies f'(x) >0 \implies f(x)$ là hàm đồng biến.
Như vậy BPT $(2)\Leftrightarrow f(x) \ge f(2a) \Leftrightarrow x \ge 2a >0$, đây là điều không thể xảy ra.
Vậy trong trường hợp này thì BPT vô nghiệm.
+, Nếu $x=0$ thì hiển nhiên thấy nó là nghiệm của BPT.
+, Nếu $0<x<a$ thì có thể viết
$f'(x)=\displaystyle{\frac{(a-x)^{\frac{2k}{2k+1}}-x^{\frac{2k}{2k+1}}}{(2k+1)^2\sqrt[2k+1]{x^{2k}}\sqrt[2k+1]{(a-x)^{2k}}}}$
và $f'(x)=0\Leftrightarrow a-x=x \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$
Với $0<x < \frac{a}{2} \implies 0<x<a-x \implies f'(x) >0$
Với $x = \frac{a}{2} \implies f'(x) =0$
Với $ \frac{a}{2}<x<a \implies 0<a-x<x \implies f'(x) <0$
$\begin{array}{c|ccccccccc}
x &0 & \; & \; & \frac{a}{2} & \; & \; & a\\
\hline
f^\prime(x) & \; & \; & + & 0 \; & \; & - \\
\hline
\; & \; & \; & \; & \; 2\sqrt[2k+1]{\frac{a}{2}} \\
f(x) & \; & \; & \nearrow & \; & \; & \searrow & \; \\
\quad &\sqrt[2k+1]{a} & \; & \; & \; & \; & \: & \sqrt[2k+1]{a}
\end{array}$
Từ bảng biến thiên ta thấy
$f(x) \ge \sqrt[2k+1]{a} \ge \sqrt[2k+1]{2a} - \sqrt[2k+1]{a}=f(2a)$
Tức là trong trường hợp này thì BPT luôn có nghiệm.