Trước hết ta chứng minh công thức sau
$\cot x - \tan x= 2\cot 2x$
Thật vậy,
$\cot x - \tan x= \frac{\cos x}{\sin x}- \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}=2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x$
Từ đây suy ra $2\cot 2x+\tan x= \cot x$ và PT đã cho tương đương với
$\cot x+\sqrt{\cot x+3}=3$
Dễ thấy $\cot x =1$ thỏa mãn PT trên.
Nếu $\cot x > 1 \implies \cot x+\sqrt{\cot x+3}>1+\sqrt{1+3}=3$
Nếu $\cot x <1 \implies \cot x+\sqrt{\cot x+3}<1+\sqrt{1+3}=3$
Như vậy chỉ có thể $\cot x =1\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{4} + k\pi    (k \in \mathbb{Z}).$

Mặt khác do tiếp tuyến tại $A$ và $B$ song song với nhau nên
$y'(a)=y'(b) \Leftrightarrow 3a^2-6a=3b^2-6b \Leftrightarrow (a^2-b^2)-2(a-b)=0 \Leftrightarrow a+b-2=0 \Leftrightarrow b=2-a$ (do $a \ne b$).
 Thay $b=2-a$ vào $(*)$ ta được PT
      $(2a-2)^2+\left[ {a^3-(2-a)^3-3a^2+3(2-a)^2} \right]^2=32$
$\Leftrightarrow 4a^6-24a^5+36a^4+16a^3-44a^2-8a-12=0$
$\Leftrightarrow 4(a-3)(a+1)(a^4-4a^3+4a^2+1)=0$
Nhận thấy $a^4-4a^3+4a^2+1 = a^2(a-2)^2+1 > 0   \forall a$,
Do đó $a=-1 \implies b=3$
hoặc $a=3\implies b=-1.$
Như vậy cặp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   $(-1;-3)   (3;1)$.

*, $n$ là số tự nhiên chẵn, $n=2k,   k\in \mathbb{N}$. Như vậy BPT đã cho cần điều kiện $x \ge a$ và nó trở thành
$\sqrt[2k]{x} - \sqrt[2k]{x-a}  \geq \sqrt[2k]{2a} - \sqrt[2k]{a}          (1)$
Xét hàm số $f(x)=\sqrt[2k]{x} - \sqrt[2k]{x-a}$,
có $f'(x)=\displaystyle{\frac{1}{2k\sqrt[2k]{x^{2k-1}}}-\frac{1}{2k\sqrt[2k]{(x-a)^{2k-1}}}=\frac{(x-a)^{\frac{2k-1}{2k}}-x^{\frac{2k-1}{2k}}}{4k^2\sqrt[2k]{x^{2k-1}}\sqrt[2k]{(x-a)^{2k-1}}}}$
 Thấy rằng với $x \ge a>0 \implies 0\le x-a<x \implies (x-a)^{\frac{2k-1}{2k}}-x^{\frac{2k-1}{2k}} \le 0 \implies f'(x) \le 0 \implies f(x)$ là hàm nghịch biến.
Mặt khác PT $(1)\Leftrightarrow f(x) \ge f(2a) \Rightarrow x \le 2a.$
Vậy trong trường hợp này $a \le x \le 2a.$

$\sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2}+\sqrt{c^2+p^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(m+n+p)^2}$
Thật vậy,
Trên mặt phẳng tọa độ Đề-các Oxy xét các điểm $O(0;0), A(-a;-m), B(b;n), C(-c;-p),D(a+b,m+n)$.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
$OA + OB \ge AB \Rightarrow \sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(m+n)^2}$
$OC + OD \ge CD \Rightarrow \sqrt{c^2+p^2}+\sqrt{(a+b)^2+(m+n)^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(m+n+p)^2}$
Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức trên và ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $O,A,B$ thẳng hàng, $O,C,D$ thẳng hàng, tức là
$\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow \frac{a}{m}=\frac{b}{n}$
$\overrightarrow{OC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow \frac{a+b}{m+n}=\frac{c}{p}$
Tóm lại đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{p}$

Quay trở lại bài toán của chúng ta và đặt $a=\log_2 x, b=\log_2 y, c=\log_2 z, m=1, n=1, p=2$.
Dễ thấy, với $xyz=8\implies a+b+c=\log_2 x+\log_2 y+\log_2 z=\log_2 xyz=3$
Áp dụng BĐT trên ta có
$P=\sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2}+\sqrt{c^2+p^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(m+n+p)^2}\ge \sqrt{(3)^2+(4)^2}=5$.
Như vậy GTNN của $P$ là $5$ đạt được khi và chỉ khi $\begin{cases}a+b+c=3 \\ \frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{c}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{3}{4} \\b=\frac{3}{4} \\a=\frac{3}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt[4]{8} \\ y=\sqrt[4]{8} \\z=\sqrt{8} \end{cases}$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng bằng phương pháp quy nạp :
Với $n=1 : y'=\cos x=\sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow$ công thức đúng với $n=1$.
Giả sử công thức đúng với $n=k : y^{\displaystyle (k)}=\sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )$
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$
nghĩa là  $y^{\displaystyle (k+1)}=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :
$y^{\displaystyle (k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[ { \sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )} \right]^\prime=\cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$.
Vậy $y^{\displaystyle (k+1)}=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$ luôn đúng.
Do đó : $y^{\displaystyle (n)}=\sin \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right )$       với $n \in \mathbb{N}$.  
 Các bài tập tương tự các bạn có thể theo dõi tại

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113568/dao-ham-cap-cao