Với hai số $Z,Z'( Z'\neq 0)$ thì $|\frac{Z}{Z'}|=\frac{|Z|}{|Z'|}$, do đó hệ đã cho tương ứng với:
$\begin{cases}|Z-1|= |Z-i| (1)\\ |Z-3i|=|Z-(-i)| (2) \end{cases}$
Gọi
$M$ là điểm biểu diễn số phức $Z, A(1;0), B(0;1)$ tương ứng biểu diễn
các số $(1)$ và $i; C(0;3), D(0;-1)$ tương ứng biểu diễn số phức $3i;
-i$ thì:
$(1),(2)\Leftrightarrow \begin{cases}MA=MB (3)\\ MC=MD(4) \end{cases}$
Từ $(3),(4)$ suy ra $M$ là giao điểm của đường trung trực của $AB$ và đường trung trực của $CD$.
Dễ thấy $y=x$ và $y=1$ là tương ứng là hai đường trung trực của $AB$ và $CD$.
Vậy $Z=1+i$ là số phức cần tìm.