|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
tích phân hay
|
|
|
|
Normal
0
false
false
false
EN-US
X-NONE
X-NONE
MicrosoftInternetExplorer4
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta được$B=\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{101}dx=\left[x \cdot
({1-x^{50}})^{101}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x \cdot
101({1-x^{50}})^{100}(-50) x^{49}\ dx$$B = 0
+ 50 \cdot 101 \int_{0}^{1} x^{50}({1-x^{50}})^{100}\ dx$$B =
-5050 \left[\int_{0}^{1}(1- x^{50})({1-x^{50}})^{100}\
dx-\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{100}\ dx\right]$$B =
-5050 \cdot B + 5050 \cdot A$$\implies 5050
\cdot A = 5051 \cdot B$Do đó $ \frac{A}{B}=\frac{5051}{5050} $.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta được$B=\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{101}dx=\left[x \cdot
({1-x^{50}})^{101}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x \cdot
101({1-x^{50}})^{100}(-50) x^{49}\ dx$$B = 0
+ 50 \cdot 101 \int_{0}^{1} x^{50}({1-x^{50}})^{100}\ dx$$B =
-5050 \left[\int_{0}^{1}(1- x^{50})({1-x^{50}})^{100}\
dx-\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{100}\ dx\right]$$B =
-5050 \cdot B + 5050 \cdot A$$\implies 5050
\cdot A = 5051 \cdot B$Do đó $ \frac{A}{B}=\frac{5051}{5050} $.
|
|
|
|
giải đáp
|
tích phân hay
|
|
|
|
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta được
$B=\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{101}dx=\left[x \cdot
({1-x^{50}})^{101}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x \cdot
101({1-x^{50}})^{100}(-50) x^{49}\ dx$
$B = 0
+ 50 \cdot 101 \int_{0}^{1} x^{50}({1-x^{50}})^{100}\ dx$
$B =
-5050 \left[\int_{0}^{1}(1- x^{50})({1-x^{50}})^{100}\
dx-\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{100}\ dx\right]$
$B =
-5050 \cdot B + 5050 \cdot A$
$\implies 5050
\cdot A = 5051 \cdot B$
Do đó $ \frac{A}{B}=\frac{5051}{5050} $. |
|
|
|
bình luận
|
các anh giải thêm bài này nữa ạ
Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
các anh giải thêm bài này nữa ạ
|
|
|
|
a) Đặt $I_n=\int\limits_{0}^{1}x^n \sqrt{1-x}dx$
Trước hết chứng minh bổ đề $I_n=\frac{2n}{2n+3}$. Bạn có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần để giải quyết coi như bài tập nhé.
Do $I_0=\frac{2}{3}$ và chú ý $\forall n$, ta có $\frac{1}{2n+1} < \frac{1}{\sqrt{2n(2n+2)}}$
$\implies I_n=\frac{2n}{2n+3}.\frac{2(n-1)}{2n+1}\cdots\frac{2}{5}.\frac{2}{3}<\frac{2n}{\sqrt{(2n+2)(2n+4)}}.\frac{2(n-1)}{\sqrt{2n(2n+2)}}\cdots\frac{2}{\sqrt{ 4.6}}.\frac{2}{\sqrt{2.4}}$
$\implies
I_n<\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+2}}<\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}$ (đpcm).
|
|
|
|
bình luận
|
tích phân
Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tích phân
|
|
|
|
$I = \int\limits_3^5 {\sqrt {{x^2} - 9} dx} $
Đặt
$t = x + \sqrt {{x^2} - 9} \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 9}}{{2t}} \Rightarrow dx = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{9}{{{t^2}}}} \right)dt$
và ta có
$I = \int\limits_3^9 {\left( {t - \frac{{{t^2} + 9}}{{2t}}} \right)\left( {\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{9}{{{t^2}}}} \right)} \right)dt} = \int\limits_3^9 {\left( {\frac{t}{4} - \frac{9}{{2t}} + \frac{{81}}{{4{t^3}}}} \right)dt} = 10 - \frac{{9\ln 3}}{2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
nguyên hàm
|
|
|
|
Tìm các hệ số $A,B,C,D$ bằng phương pháp đồng nhất thức $ \frac{3x+1}{(x+1)^{3}x}dx =\frac{A}{(x+1)^3}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x} $ta được$\begin{align*} \int\frac{3x+1}{(x+1)^{3}x}dx \ &=\int\frac{2}{(x+1)^3}-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x} \;dx \\ &=-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}-\ln(x+1)+\ln x+C \\&= \ln\frac{x}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}+C \\&=\ln\frac{x}{x+1}+\frac{x}{(x+1)^2}+C . \end{align*}$
Tìm các hệ số $A,B,C,D$ bằng phương pháp đồng nhất thức $ \frac{3x+1}{(x+1)^{3}x}dx =\frac{A}{(x+1)^3}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x} $ta được$\begin{align*} \int\frac{3x+1}{(x+1)^{3}x}dx \ &=\int\frac{2}{(x+1)^3}-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x} \;dx \\ &=-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}-\ln|x+1|+\ln |x|+C \\&= \ln|\frac{x}{x+1}|-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}+C \\&=\ln|\frac{x}{x+1}|+\frac{x}{(x+1)^2}+C . \end{align*}$
|
|
|
|
bình luận
|
nguyên hàm
Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
nguyên hàm
|
|
|
|
Tìm các hệ số $A,B,C,D$ bằng phương pháp đồng nhất thức
$ \frac{3x+1}{(x+1)^{3}x}dx =\frac{A}{(x+1)^3}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x} $
ta được
$\begin{align*} \int\frac{3x+1}{(x+1)^{3}x}dx \ &=\int\frac{2}{(x+1)^3}-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x} \;dx \\ &=-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}-\ln|x+1|+\ln |x|+C \\&= \ln|\frac{x}{x+1}|-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}+C \\&=\ln|\frac{x}{x+1}|+\frac{x}{(x+1)^2}+C . \end{align*}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
các anh giải thêm bài này nữa ạ
|
|
|
|
b) Đặt $F(x)=\int\limits_{0}^{x}\frac{\sin t}{1 + t}dt , \forall x \geq 0$ thì $F'(x)=\frac{\sin x}{1 + x} \ge 0 , \forall x \geq 0$ do đó $F(x)$ là hàm đồng biến trên $[0, +\infty)$suy ra $F(x) \ge F(0) =0$ (đpcm).
b) Ta sẽ dùng phương pháp tích phân từng phầnĐặt $dv=\sin tdt$ và chọn $v=1-\cos t.$$u=\frac1{t+1}\Rightarrow du=-\frac1{(t+1)^{2}}\,dt.$Suy ra$\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t+1}\,dt=\left.\frac{1-\cos t}{t+1}\right|_{0}^{x}-\int_{0}^{x}(1-\cos t)\left(-\frac1{(t+1)^{2}}\right)\,dt$$=\frac{1-\cos x}{x+1}+\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{(t+1)^{2}}\,dt$Do $1-\cos x\ge 0$ $\forall x,$ nên cả hai tích phân đều không âm.Từ đây có đpcm.
|
|
|
|
bình luận
|
các anh giải thêm bài này nữa ạ
Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
các anh giải thêm bài này nữa ạ
|
|
|
|
b) Đặt $F(x)=\int\limits_{0}^{x}\frac{\sin t}{1 + t}dt\geq 0 , \forall x \geq 0$ thì $F'(x)=\frac{\sin x}{1 + x} \ge 0 , \forall x \geq 0$ do đó $F(x)$ là hàm đồng biến trên $[0, +\infty)$suy ra $F(x) \ge F(0) =0$ (đpcm).
b) Đặt $F(x)=\int\limits_{0}^{x}\frac{\sin t}{1 + t}dt , \forall x \geq 0$ thì $F'(x)=\frac{\sin x}{1 + x} \ge 0 , \forall x \geq 0$ do đó $F(x)$ là hàm đồng biến trên $[0, +\infty)$suy ra $F(x) \ge F(0) =0$ (đpcm).
|
|
|
|
giải đáp
|
các anh giải thêm bài này nữa ạ
|
|
|
|
b) Ta sẽ dùng phương pháp tích phân từng phần
Đặt $dv=\sin tdt$ và chọn $v=1-\cos t.$
$u=\frac1{t+1}\Rightarrow du=-\frac1{(t+1)^{2}}\,dt.$
Suy ra
$\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t+1}\,dt=\left.\frac{1-\cos t}{t+1}\right|_{0}^{x}-\int_{0}^{x}(1-\cos t)\left(-\frac1{(t+1)^{2}}\right)\,dt$
$=\frac{1-\cos x}{x+1}+\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{(t+1)^{2}}\,dt$
Do $1-\cos x\ge 0$ $\forall x,$ nên cả hai tích phân đều không âm.
Từ đây có đpcm.
|
|