a) Gọi $IJ$ cắt $BC$ tại $K$.
Do $K$ nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ nên $OK$ cắt được $AC$ tại $H$, cắt được $AB$ tại $L$.
 Như vậy thiết diện cần tìm là $IJHL$.

Câu a và câu b bạn tham khảo tại đây nhé. Sau đó làm tương tự
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/107355/bai-107354

c)
Từ câu b) thì $y \in \mathbb{Z} \iff x \in \mathbb{Z} \iff \frac{1}{m+1} \in \mathbb{Z} \iff m \in \left\{ -2;0{} \right\}$

b) Tọa độ giao điểm $I$ là nghiệm của hệ
$\begin{cases} mx+y-3=0\\x+my-2m-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} mx+y=3\\x+my=2m+1 \end{cases}  (*)$
Với $m=-1$, hệ (*) vô nghiệm nên tập hợp các điểm I là $\emptyset$
Với $m=1$, hệ (*) vô số nghiệm nên tập hợp các điểm I là toàn bộ đường thẳng $x+y=3$
Với $m \ne \pm 1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1}{m+1} \\ y= \frac{2m+3}{m+1}\end{cases}      \implies y=2+x$
nên tập hợp các điểm I là đường thẳng $y=2+x$.

a)
$mx+(y-3)=0   \forall x \implies x=0, y=3$. $d_1$ đi qua điểm $(0; 3)$ cố định.
$x+my-2m-1=0 \iff m(y-2)+x-1=0   \forall x \implies x=1, y=2$. $d_2$ đi qua điểm $(1; 2)$ cố định.

Thêm một chút áo thuật nữa nhé..
Đặt $\sqrt[3]{81x-8}=3y-2$
Ta có $81x-8=27y^3-54y^2+36y-8 \Leftrightarrow y^3-2y^2+ \frac{4}{3}y-3x=0         (1)$ 
Mặt khác từ phép đặt ẩn phụ $3y-2=x^{3}-{2}x^{2}+\frac{4}{3}x-2 \Leftrightarrow x^3-2x^2+ \frac{4}{3}x-3y=0    (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có hệ PT đối xứng. Trừ theo từng vế hai PT ta được
$(x-y)(x^2+y^2+xy-2x-2y+\frac{13}{3}) = 0$.
Ta lại có $x^2+y^2+xy-2x-2y+\frac{13}{3}=\frac{1}{2}(x+y)^2 +\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}(y-2)^2 +\frac{1}{3} >0 $ với mọi $x,y$
Suy ra $x=y$.
Thay trở về phép đặt và tìm ra nghiệm được như cách trên.
Bạn có thể tham khảo tại đây để biết rõ chi tiết nhé
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113295/phuong-phap-dat-an-phu-de-giai-phuong-trinh-co-hai-phep-toan-nguoc-nhau

Từ $ x, y \in [0;1] $ ta có thể đặt $ x = \sin a , y = \sin b $ với $ a, b \in [0, \frac{\pi}{2}] $
BĐT cần chứng minh
$ \iff 2 \cos a \cos b \le 2( 1 - \sin a )( 1- \sin b ) +1 $
$ \iff 2\cos a \cos b \le 2\sin a \sin b -2( \sin a + \sin b ) +3 $
$ \iff 2( -\cos a \cos b + \sin a \sin b ) - 2( \sin a + \sin b ) + 3 \ge 0 $
$ \iff - 2 \cos (a+b) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + 3 \ge 0 $
$ \iff 2( 2 \sin^2 \frac{a+b}{2} -1 ) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} +3 \ge 0 $
$ \iff \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + \frac{1}{4} \ge 0       (1)$ 
Chú ý rằng
$ \begin{cases}
\sin \frac{a+b}{2} \ge 0 \\
0 \le \cos \frac{a-b}{2} \le 1
\end{cases}$
Do đó Vế trái $(1)  \ge \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} + \frac{1}{4} = (\sin \frac{a+b}{2} - \frac{1}{2})^2 \ge 0 = $ Vế phải $(1)$ , đây là đpcm.