PT
$\iff\sqrt[3]{81x-8}-(3x-2)=x(x^2-2x-\frac 53)$

$\iff (81x-8)-(3x-2)^3=x(x^2-2x-\frac 53)(\sqrt[3]{(81x-8)^2}+(3x-2)\sqrt[3]{81x-8}+(3x-2)^2)$

$\iff -27x(x^2-2x-\frac 53)=x(x^2-2x-\frac 53)(\sqrt[3]{(81x-8)^2}+(3x-2)\sqrt[3]{81x-8}+(3x-2)^2)$
dễ thấy $x=0$ là một nghiệm và $x^2-2x-\frac 53=0\iff x=1\pm \frac{2\sqrt 6}3$
Ta có $-27=(\sqrt[3]{(81x-8)^2}+(3x-2)\sqrt[3]{81x-8}+(3x-2)^2)$ vô nghiệm vì Vế phải $>0$ $\forall x$
Vậy PT có nghiệm : $\boxed{x\in\{1- \frac{2\sqrt 6}3,0,1+ \frac{2\sqrt 6}3\}}$

Lý do mà bạn sai có lẽ là GPT $\tan 2x = \cot 7x$ mà không chú ý tới điều kiện.
Điều kiện:
$\left\{ \begin{array}
  2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi   \\
7x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi   \\
\end{array}  \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( 1 \right)  \\
  x \ne \frac{\pi }{{14}} + \frac{{k\pi }}{7}\left( 2 \right)  \\

\end{array}  \right.$,$k \in \mathbb{Z}$
Với điều kiện trên phương trình tương đương:
$\sin 2x\sin 7x = \cos 2x\cos 7x$
$ \Leftrightarrow \cos 9x = 0$                    
$ \Leftrightarrow 9x = \frac{\pi }{2} + m\pi $       
$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9} (3) m \in \mathbb{Z}$
Ta xét xem nghiệm của (3) có thoả điều kiện (1), (2) hay không:
Xét điều kiện (1):
Ta giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9} \Leftrightarrow 4m - 18k = 7$
Dễ dàng nhận thấy phương trình trên có $\left( {4,18} \right) = 2$ không phải là ước của $7$ nên phương trình nghiệm nguyên vô nghiệm.
Vậy nghiệm (3) luôn thoả mãn (1)
Xét điều kiện (2):
Ta giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$\frac{\pi }{{14}} + \frac{{k\pi }}{7} = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9}$
$ \Leftrightarrow 7 + 14m = 9 + 18k$
$ \Leftrightarrow 7m - 9k = 1$ có nghiệm riêng tổng quát là:
$\left\{ \begin{array}
  m = 4 + 9t  \\
  k = 3 + 7t  \\
\end{array}  \right.$   ,$t \in \mathbb{Z}$
Do vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
$x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{m\pi }}{9}$, với $m \in \mathbb{Z}$và $m \ne 9t + 4,n \in \mathbb{Z}$.

Giả sử $x$ là nghiệm nguyên của PT, khi đó ta có:
$\cos \left[ {\frac{\pi }{8}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 160x + 800} } \right)} \right] = 1$
$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{8}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 160x + 800} } \right) = k2\pi $ ($k \in \mathbb{Z}$)
$\begin{array}
   \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 160x + 800}  = 3x - 16k  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3x - 16k \ge 0  \\
  9{x^2} + 160x + 800 = {\left( {3x - 16k} \right)^2}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3x - 16k \ge 0  \\
  x = \frac{{8{k^2} - 25}}{{3k + 5}}  \\
\end{array}  \right.$        $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3x - 16k \ge 0  \\
  9x = 24k - 40 - \frac{{25}}{{3k + 5}}  \\
\end{array}  \right.$$\left( 1\right)$
$ \Rightarrow \frac{{25}}{{3k + 5}} \in \mathbb{Z}$, suy ra :$k \in \left\{ {{\text{0; - 2; - 10}}} \right\}$  $\left(2 \right)$
Từ  $\left( 2 \right)$ , bằng cách thử trực tiếp vào$\left( 1 \right)$ ta được:
          $\left[ \begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  k =  - 2  \\
  x =  - 7  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left\{ \begin{array}
  k =  - 10  \\
  x =  - 31  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.$

Đặt $t=\cot x$ thì
$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}=\frac{\frac{2}{\tan x}}{\frac{1}{\tan^2 x}+1}=\frac{2t}{1+t^2}$ 
PT $\Leftrightarrow \frac{2t}{1+t^2}+2t=3\Leftrightarrow 2t+2t(1+t^2)-3(1+t^2)=0\Leftrightarrow (t-1)(2t^2-t+3)=0$ 
$\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}+ k \pi (k \in \mathbb{Z} )$ 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta được
$\displaystyle{\frac{3a_1a_2a_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{a_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{a_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{a_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{a_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{a_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{a_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
$\displaystyle{\frac{3b_1b_2b_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{b_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{b_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{b_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{b_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{b_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{b_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
$\displaystyle{\frac{3c_1c_2c_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{c_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{c_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{c_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{c_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{c_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{c_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
Cộng theo từng vế của ba BĐT trên ta được
$\displaystyle{\frac{3(a_1a_2a_3+b_1b_2b_3+c_1c_2c_3)}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} } \le 3}$
Từ đây suy ra BĐT Holder được chứng minh.