Điều kiện:   ${\cos ^2}x + \sin x - 1 \ne 0$      $ \Leftrightarrow \sin x - \sin ^2x \ne 0$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}\sin x \ne 0  \\\sin x \ne 1 \end{cases} $                      
$ \Leftrightarrow \begin{cases}x \ne k\pi   \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \end{cases}$     $\left( 1 \right)$
Với điều kiện đó phương trình tương đương:
     $\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + \sin x\cos x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow $$\cos x(\sin x - \cos x) = 0$
$ \Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \cos x = 0  \\
\sin x = \cos x \end{matrix}} \right.$      
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = \frac{\pi }{2} + k\pi   \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi   \end{matrix}} \right.$  ,$k \in \mathbb{Z}$        $\left( 2 \right)$
Kết luận: nghiệm của phương trình đã cho là:                    
$x =\frac{\pi }{4} + k\pi $,  $k \in \mathbb{Z}$.

Để chứng minh bài toán này bạn cần biết BĐT Holder dạng
$(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3) \ge (a_1a_2a_3+b_1b_2b_3+c_1c_2c_3)^3$
với $a_i, b_i, c_i >0   i=1,2,3$.
Áp dụng BĐT này
$\left( \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2(xy+yz+xz)\geq(x+y+z)^3$
Việc còn lại là đi chứng minh $(x+y+z)^3\geq9(xy+xz+yz)$.
Nhưng điều này là hiển nhiên thấy vì $x+y+z\geq3$ và $(x+y+z)^2\geq3(xy+xz+yz)$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Câu c) bạn nhìn kỹ mới thấy nó rất đơn giản.
Ta sẽ chỉ ra rằng với mọi số phức $z$ thì  $\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|$.
Thật vậy nếu $z=x+yi, x,y \in \mathbb{R}$ thì $\bar z=x-yi$
Như vậy $\left| z \right| = \sqrt{x^2+y^2}=\left| {\bar z} \right|$
Và câu trả lời trong trường hợp này là toàn bộ mặt phẳng toạ độ.
Thêm một chút cho câu b)
Bạn chứng minh điều này coi như bài tập nhé
Cho $z, z'$ là hai số phức thỏa mãn $z' \ne 0$ thì ta luôn có
$\left| {\frac{z}{z'}} \right|=\frac{|z|}{|z'|}$
Gợi ý là hoàn toàn dùng biến đổi thông thường với giả thiết $z=x+yi,    z'=x'+y'i$ nhé.

b) $\left| {\frac{{z - i}}{{z +i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow  {\frac{{|z - i|}}{{|z +i|}}} = 1 \Leftrightarrow  \frac{{x^2+(y-1)^2}}{{x^2+(y+1)^2}} = 1 \Leftrightarrow y=0$.
 Tập hợp các điểm $z$ như trên chính là trục hoành.

a) Tập hợp điểm $z=x+yi,  x,y \in \mathbb{R} $ thỏa mãn $\left| {z - i} \right| = 1\Leftrightarrow |x+(y-1)i|=1\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=1$ là đường tròn tâm $E\left( 0,1 \right)$ bán kính $R = 1$.

Bài toán này cơ bản, chỉ là đố nhau về tính toán thôi.
Dễ thấy $ \cos x \ne 0$
Chia 2 vế của PT cho $\cos ^2x \ne 0$ ta được 
$7\tan^2x + 4\tan x - 3 - 3\sqrt[3]{{15}}\left( {1 + \tan^2x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {7 - 3\sqrt[3]{{15}}} \right)\tan^2x + 4\tan x - \left( {3 + 3\sqrt[3]{{15}}} \right)$$ = 0$  (2)
Ta có: ${\Delta'} = 4 + \left( {7 - 3\sqrt[3]{{15}}} \right)\left( {3 + 3\sqrt[3]{{15}}} \right)= 25 + 12\sqrt[3]{{15}} - 9\sqrt[3]{{{{15}^2}}}$
Đặt $t = \sqrt[3]{{15}} \Rightarrow {t^3} = 15 \Rightarrow \frac{5}{3}{t^3} = 25$, khi đó
${\Delta'} = \frac{5}{3}{t^3} - 9{t^2} + 12t = \frac{5}{3}t\left( {t - 3} \right)\left( {t - \frac{{12}}{5}} \right)$
Dễ thấy   ${\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^3}{\text{ < }}15{\text{ < }}{3^3} \Leftrightarrow \frac{{12}}{5}{\text{ < }}t = \sqrt[3]{{15}}{\text{ < }}3$                                         
Suy ra ${\Delta'}{\text{ < }}0 \Rightarrow (2)$ vô nghiệm $ \Rightarrow \left( 1 \right)$ vô nghiệm
Kết luận: phương trình đã cho vô nghiệm .

$2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 $
   Có: $\left\{ \begin{array}
  {a^2} + {b^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 5 - 2\sqrt 2   \\
  {c^2} = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} = 11 - 6\sqrt 2   \\
\end{array}  \right.$
 Ta sẽ chứng minh: ${a^2} + {b^2}{\text{ < }}{{\text{c}}^{\text{2}}}$
$ \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 {\text{ < 11 - 6}}\sqrt {\text{2}} $
$ \Leftrightarrow 4\sqrt 2 {\text{ < 6}} \Leftrightarrow {\left( {{\text{4}}\sqrt {\text{2}} } \right)^2}{\text{ < }}{{\text{6}}^{\text{2}}}$$ \Leftrightarrow 32{\text{ < 36}}$(đúng)
  Vậy phương trình vô nghiệm.