Bạn xem cách giải này tự nhiên hơn nhé
$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}} -(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$=\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y} -3(\sqrt{x}+\sqrt{y})          (*)$
Áp dụng BĐT Cô-si ta được
 $\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y} \ge 2\sqrt 2                (1)$
 $\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x} \ge 2\sqrt 2                 (2)$
Mặt khác $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \le 2(x+y)=2 \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \le \sqrt 2           (3)$ 
Từ $(*), (1), (2), (3)$  ta có
$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}} \ge2 \sqrt 2 +2\sqrt 2 -3\sqrt 2 =\sqrt 2  $
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ 

3) Chia cả hai vế của PT cho $27^{x^3-1}$  ta được
$\left (\frac{2}{3} \right )^{3(x^3-1)}-\left ( \frac{2}{3} \right )^{2(x^3-1)}=2$
Đặt $t=\left ( \frac{2}{3} \right )^{(x^3-1)} >0$ thì ta được PT $t^3+t^2-2=0\Leftrightarrow t=1$
Thay trở lại phép đặt ẩn phụ
$\left ( \frac{2}{3} \right )^{(x^3-1)}=1\Leftrightarrow x^3-1=0\Leftrightarrow x=1$

Bạn có thể xem lời giải chi tiết tại đây nhé
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113302/ung-dung-tinh-don-dieu-cua-ham-so-de-chung-minh-bat-dang-thuc

2) Chia cả hai vế của PT cho $25^{\frac{1}{x}}$ với chú ý $x \ne 0$ ta được
$\left ( \frac{7}{5} \right )^{\frac{2}{x}}-\left ( \frac{7}{5} \right )^{\frac{1}{x}}=1$
Đặt $t=\left ( \frac{7}{5} \right )^{\frac{1}{x}} >0$ thì ta được PT $t^2-t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1+ \sqrt 5}{2}$
Thay trở lại phép đặt ẩn phụ
$\left ( \frac{7}{5} \right )^{\frac{1}{x}}=\frac{1+ \sqrt 5}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\log_{7/5}\frac{1+ \sqrt 5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\log_{7/5}\frac{1+ \sqrt 5}{2}}$

1) Nếu ý của bạn $\log$ là $\log_{10}$ thì
PT $\Leftrightarrow \log x^{3 - \log \frac{x}{3}} = \log 900\Leftrightarrow (3 - \log \frac{x}{3})\log x= 2\log 3 +2$
$\Leftrightarrow (3-\log x+\log 3)\log x =2\log 3 +2\Leftrightarrow \log^2 x - \log x(3+ \log 3)+2\log 3 +2=0$
$\Leftrightarrow \log x = \frac{3+\log 3 \pm \sqrt{(3+ \log 3)^2-4(2\log 3+2)}}{2}= \frac{3+\log 3 \pm (\log3-1)}{2}=\left[ {\begin{matrix} 2\\  \log 30 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=100\\x= 30 \end{matrix}} \right.$

Điều kiện $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $  $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Với điều kiện trên PT:
$ \Leftrightarrow \cos x - 1 + \frac{1}{\cos^2x} = \cos 2x+\tan^2x$
$ \Leftrightarrow \cos x = \cos 2x$    $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = k2\pi   \\
  x = \frac{{k2\pi }}{3}  \\
\end{array}  \right.$   ,$k \in \mathbb{Z}$     $ \Leftrightarrow x_k = \frac{{k2\pi }}{3}$ (*)
Do $0 \le x \le100$ nên $0 \le k \le \left[ {\frac{{100}}{{\frac{{2\pi }}{3}}}} \right] = \left[ {\frac{{50}}{{\frac{\pi }{3}}}} \right] = 47$
Tổng các nghiệm là
$ S =\sum_{k=0}^{47}x_k=\sum_{k=0}^{47}k . \frac{{2\pi }}{3}=\frac{47\times 48}{2} . \frac{{2\pi }}{3}=752\pi $

Từ câu a) thì ta cần tìm những số phức dạng $z=a \pm ai,    a \in \mathbb{R}.$
$\left| {\frac{{z - 1}}{{z - 3}}} \right| = 1 \Leftrightarrow  {\frac{{|z - 1|}}{{|z - 3|}}} = 1 \Leftrightarrow  {\frac{{(a-1)^2+a^2}}{{(a-3)^2+a^2}}} = 1 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài là : $z_1 = 2(1 + i)$ và $z_2 = 2(1 – i)$.