Bạn hãy tìm kiếm trước khi đăng bài nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113652/bat-dang-thuc-dang-tong-quat

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta cần tìm hệ số của $x^{15}$ trong khai triển đa thức $P(x)$ dưới dạng $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{20}x^{20}$. Nhận thấy rằng các số chứa $x^{15}$ chỉ nằm trong tổng
$15(1+x)^{15}+16(1+x)^{16}+\cdots+20(1+x)^{20}$.
Mặt khác theo khai triển Niu-tơn
$n(1+x)^n=n.\sum_{k=0}^{n}C_n^kx^k=\sum_{k=0}^{n}nC_n^kx^k$.
Như vậy, $a_{15}=15C_{15}^{15}+16C_{16}^{15}+17C_{17}^{15}+18C_{18}^{15}+19C_{19}^{15}+20C_{20}^{15}$.

$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{3x\ln x+x+\ln x+3}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{2(x\ln x+1)+\ln x+x+\ln x+1}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2\sqrt{x\ln x+1}+\frac{(\ln x +1)(x+1)}{\sqrt{x\ln x+1} }} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2\sqrt{x\ln x+1}+(x+1)\frac{\ln x +1}{\sqrt{x\ln x+1} }} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)'\sqrt{x\ln x+1}+(x+1)\sqrt{x\ln x+1}'} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)'\sqrt{x\ln x+1}+2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}'} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}} \right]'dx $
$I= {2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}} |_1^e $
$I=\boxed{\displaystyle{2\sqrt[3]{(1+e)^2}-4}} $

 

Đặt $x-y = a, x+y=b$. Ta biết rằng
$\begin{cases}x^2+y^2= \frac{a^2+b^2}{2}\\ xy= \frac{b^2-a^2}{4} \end{cases}$
Lúc đó HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{4}+b \\ ab=3 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2+b^2-4b=0\\ a=\frac{3}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{27}{b^2} +b^2-4b=0\\ a=\frac{3}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} b^4-4b^3+27=0\\ a=\frac{3}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} (b-3)^2(b^2+2b+3)=0\\ a=\frac{3}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} b=3\\ a=1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=1 \end{cases}$