Chú ý rằng
$\cos (\frac{\pi}{6}-x )=\sin \left (\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{6}-x) \right )=\sin (x+\frac{\pi}{3} )$
$\cos 2(x+\frac{\pi}{3} )=1-2\sin^2 (x+\frac{\pi}{3} )$.
Như vậy
PT $\Leftrightarrow 1-2\sin^2 (x+\frac{\pi}{3} )+4\sin (x+\frac{\pi}{3} )=\frac{5}{2}$
     $\Leftrightarrow \sin^2 (x+\frac{\pi}{3} )-2\sin (x+\frac{\pi}{3} )+\frac{3}{4}=0$
     $\Leftrightarrow \sin (x+\frac{\pi}{3} )=\frac{1}{2}$
     $\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix}} \right.  (k\in \mathbb{Z}).$

Xét PT tương giao
$\frac{x+1}{2x+1}=mx+\frac{m+1}{2}\Leftrightarrow 4mx^2+4mx+m-1=0\Leftrightarrow m(2x+1)^2=1$.
Từ đây ta cần điều kiện $m>0$ để hai điểm $B, C$ tồn tại phân biệt.
Như vậy ta có
$x_B=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}, x_C=\frac{-1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$.
Thay tọa độ $B, C$ và PT đường thẳng $(d)$ ta có
$y_B=\frac{1+\sqrt m}{2 \sqrt m}, y_C=\frac{1-\sqrt m}{2 \sqrt m}$.
Suy ra
$OB^2+OC^2=x_B^2+y_B^2+x_C^2+y_C^2=\frac{m+1}{2m}+\frac{m+1}{2}=\frac{(m+1)^2}{2m}=\frac{(m-1)^2}{2m}+2 \ge 2.$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của $OB^2+OC^2$ bằng $2$ đạt được khi và chỉ khi $m=1$.

Từ giả thiết $\Rightarrow (a+1)(b+1)=4$.
$P=\frac{3a(a+1)+3b(b+1)}{ (a+1)(b+1)} +\frac{ab}{a+b} -a^2 -b^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2)+\frac{3}{4}(a+b)+\frac{ab}{a+b} -a^2 -b^2 $
 $P=-\frac{1}{4}(a^2+b^2)+\frac{3}{4}(a+b)+\frac{3-(a+b)}{a+b}$
 Đặt $a+b=x \implies x=3-ab \ge 3- \frac{x^2}{4}\implies x \ge 2$.
 $P=-\frac{1}{4}(x^2+2x-6)+\frac{3}{4}x+\frac{3}{x}-1=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x+\frac{3}{x}+\frac{1}{2}=f(x)$
 ta có $f'(x)=-\frac{2x^3-x^2+12}{4x^2} < 0    \forall x\ge 2.$
 Như vậy $f$ nghịch biến nên $f(x) \le f(2)=\frac{3}{2}$.
 Vậy $\max P =\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=1.$

Với đề bài như trên và điều kiện $\sin 2x \ne 0$ thì
PT $\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2x}-\sin 2x+\frac{1}{2\sin x}-\sin x+2\cot 2x=0$
      $\Leftrightarrow \frac{1-\sin^2 2x}{\sin 2x}+\frac{1-2\sin^2 x}{2\sin x}+\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}=0$
      $\Leftrightarrow \cos^2 2x+\cos 2x.\cos x+2\cos 2x=0 $     
      $\Leftrightarrow \cos 2x\left (\cos 2x+\cos x+2 \right )=0 $
      $\Leftrightarrow \cos 2x\left (2\cos^2x+\cos x+1 \right )=0 $
      $\Leftrightarrow \cos 2x=0 $ (do $2\cos^2x+\cos x+1>0   \forall x$)
      $\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}         (k \in \mathbb{Z}).$

Xét phương trình tương giao
      $x^3+3x^2+1=(2m-1)x-4m-1$
$\Leftrightarrow x^3+3x^2+x+2=2m(x-2)$
$\Leftrightarrow g(x)=\frac{x^3+3x^2+x+2}{x-2}=2m            (1)$
(Dễ thấy $x \ne 2$).
Ta có $g'(x)=\frac{-4-12 x-3 x^2+2 x^3}{(-2+x)^2} $
PT $g'(x)=0 $ có ba nghiệm "không đẹp" $\begin{cases}x_1\approx -1,54526 \\ x_2\approx -0,378076\\ x_3\approx 3,42334\end{cases}$.
Lập bảng biến thiên của hàm $g(x)$ và ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g(x_1) < 2m < g(x_3)\Leftrightarrow -0,55403<m<28,34885$