PT này vô nghiệm.

Ta sẽ chứng minh $10x^2+24y^2+8x+20y+51 > 0     \forall x,y.$
Thật vậy,
       $10x^2+24y^2+8x+20y+51$
$=\left ( \sqrt{10}x \right )^2 + 2. \sqrt{10}x.\frac{4}{ \sqrt{10}}+\frac{16}{10}+\left ( \sqrt{24}y \right )^2 + 2. \sqrt{24}y .\frac{10}{ \sqrt{24}}+\frac{100}{24}+\frac{1357}{30}$
 $=\left ( \sqrt{10}x+\frac{4}{ \sqrt{10}} \right )^2+\left (\sqrt{24}y+\frac{10}{ \sqrt{24}} \right )^2+\frac{1357}{30} > 0     \forall x,y.$

Chú ý rằng $\cos^{4}x-\sin^{4}x = \left ( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right )\left (\cos^{2}x+\sin^{2}x \right )=\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x$

Như vậy trước hết ta cần điều kiện $\cos 2x \ge 0.                      (1)$
Bây giờ PT đã cho $\Leftrightarrow \sin^{10}x\left (1-2\sin^{2}x \right )+\cos^{10}x\left (1-2\cos^{2}x \right )=\sqrt{2\cos 2x}$
                                 $\Leftrightarrow \sin^{10}x.\cos 2x-\cos^{10}x.\cos 2x=\sqrt{2\cos 2x}$
                                 $\Leftrightarrow \cos 2x\left ( \sin^{10}x-\cos^{10}x \right )=\sqrt{2\cos 2x}$
Từ đây suy ra
$\sin^{10}x-\cos^{10}x \ge 0 \Leftrightarrow \sin^{10}x \ge \cos^{10}x\Leftrightarrow |\sin x| \ge |\cos x|\Leftrightarrow \sin^{2}x \ge \cos^{2}x \Leftrightarrow \cos^{2}x - \sin^{2}x \le 0 \Leftrightarrow \cos 2x \le 0                (2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}   (k\in \mathbb{Z}).$

PT $\Leftrightarrow 2^{x^2+3\cos x}-2^{x^{2}+4\cos ^{3}{x}}=7\left ((x^2+4\cos ^{3}{x})-(x^2+3\cos x) \right )$
      $\Leftrightarrow 2^{x^2+3\cos x}+7(x^2+3\cos x)=2^{x^{2}+4\cos ^{3}{x}}+7(x^2+4\cos ^{3}{x})$
      $\Leftrightarrow f\left (x^2+3\cos x \right )= f\left (x^2+4\cos ^{3}{x} \right )         (*)$
Trong đó   $f(t)=2^t+7t,           t \in \mathbb{R}.$
Ta có : $f'(t)=2^t\ln 2 + 7 > 0   \forall t \in \mathbb{R} \implies f(t)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó từ $(*)$ suy ra $x^2+3\cos x=x^2+4\cos ^{3}{x}\Leftrightarrow \cos 3x = 0\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}   (k\in \mathbb{Z}).$

Bạn đã thử cố gắng giải nó chưa..
Ta có :
$\cos (\pi +x)=\cos ((x-\pi)+2\pi)=\cos (x-\pi)=\cos (\pi -x )=-\cos x$
$\sin(\frac{3\pi+x}{2} )=\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}+2\pi)=\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})=-\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})=-\cos \frac{x}{2}$
Như vậy PT $\Leftrightarrow 1+\cos x+\cos \frac{x}{2}=0               (*)$
Bây giờ chú ý rằng $ \cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}-1$.
PT $(*)\Leftrightarrow 2\cos^2 \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}=0\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2}\left (2\cos \frac{x}{2}+1\right )=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos \frac{x}{2}=0\\ \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\pi + 2k\pi\\ x=\pm \frac{4\pi}{3}+4k\pi \end{matrix}} \right.      (k \in \mathbb{Z}).$

Bài này đã được chúng tôi thảo luận tại đây
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/105372/bai-105372