|
|
giải đáp
|
Nguyên hàm 12
|
|
|
|
$\frac{(2x+1)}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}=\frac{1}{4}\left (\frac{-2x-1}{-x^2-x+1}-\frac{2x-1}{x^2+x+3} \right )$ $\Rightarrow \int\limits\frac{(2x+1)dx}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}=\frac{1}{4}\left (\ln |-x^2-x+1| -\ln|x^2+x+3|\right ) +C$ |
|
|
|
giải đáp
|
Bất phương trình chứa tham số
|
|
|
|
Đặt $t=\sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ Khảo sát hàm $g(x)=\sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ trên $[0,1]$ $\Rightarrow 1 \le t \le \sqrt 2.$ và $t^2=1+ 2\sqrt{x-x^2}\Rightarrow \sqrt{x-x^2}=\dfrac{t^2-1}{2}$ PT đã cho $\Leftrightarrow m+1=t-\dfrac{t^2-1}{3}=f(t)$ trong đó $f'(t)=1-\dfrac{2}{3}t$ và $f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}>\sqrt 2$ Vẽ bảng biến thiên của $f(t)$ với chú ý $f(1)=1, f(\sqrt 2)=\sqrt 2 -1/3$ Như vậy PT có nghiệm $\Leftrightarrow 1 \le m+1 \le \sqrt 2-1/3\Leftrightarrow 0 \le m\le\sqrt 2-4/3.$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Nguyên hàm 12
|
|
|
|
1. $\int\limits \frac{dx}{e^x + 1}= \int \left ( 1-\frac{e^x}{e^x + 1} \right )dx=x - \int\frac{d(e^x+1)}{e^x + 1}=x -\ln (e^x+1)+C.$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất phương trình vô tỷ chứa tham số
|
|
|
|
BĐT Cô-si là BĐT có dạng $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ bởi vì nó $\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}- \sqrt b\right )^2 \ge 0$, luôn đúng Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b$. Mặt khác khi đã chứng minh được $0 \le t \le 5$ thì ta hiển nhiên có $t \in [0,5].$ Xa hơn nữa ta còn chỉ ra được $t=0\Leftrightarrow x=4$ hoặc $x=6$ $t=5\Leftrightarrow x=1$ Thì tức là GTNN $t=0$ và GTLN $t=5$. |
|
|
|
giải đáp
|
hàm số
|
|
|
|
$(\Delta ): x-\sqrt{5}y-1=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}$ Mặt khác $y'=-\frac{2}{(x-1)^2}$. Do đó thể tiếp tuyến với (C) vuông góc với $\Delta$ thì $y'(x_0)=-\sqrt 5\Leftrightarrow -\frac{2}{(x-1)^2}=-\sqrt 5\Leftrightarrow x_0=1\pm\frac{\sqrt 2}{\sqrt[4]{5}}$ Điều này chứng tỏ có 2 tiếp tuyến cùng vuông góc với $\Delta$. Ta có $A\left ( 1+\frac{\sqrt 2}{\sqrt[4]{5}},1+\sqrt[4]{20} \right )$ $B\left ( 1-\frac{\sqrt 2}{\sqrt[4]{5}},1-\sqrt[4]{20} \right )$ Suy ra $(AB) : y=\sqrt 5 x -\sqrt 5 +1.$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp hàm số:
|
|
|
|
Đặt $t=\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1,1]$. Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)=\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}$ trên $ [-1,1]$ ta được $0 \le t \le \sqrt 2$. Ta có $t^2=2-2\sqrt{1-x^{4}}\Rightarrow 2\sqrt{1-x^{4}}=2-t^2$. Suy ra $\frac{{2\sqrt{1-x^{4}}+\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}+2}=\frac{2-t^2+t}{t+2}=g(t), \quad t \in [0,\sqrt 2]$. Lập bảng biến thiên của hàm số $g(t)=\frac{2-t^2+t}{t+2}$ trên $[0,\sqrt 2]$ ta được $\max g(t)=1 \Leftrightarrow x=0.$ $\min g(t)=\sqrt2-1 \Leftrightarrow x=\sqrt 2.$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tam giác nhọn lớp 9
|
|
|
|
Kẻ $BH,CK \perp AD, \quad H,K \in AD$. Ta có $AD(b+c)\sin 45=AD.b\sin 45+AD.c\sin45=AD.CK+AD.BH$ $=2S_{ABD}+2S_{ACD}=2S_{ABC}=bc\Rightarrow $ đpcm. |
|
|
|
giải đáp
|
nhị thức niton 1
|
|
|
|
1. Số hạng tổng quát $T_k=C_{15}^k\left ( -\frac{1}{x} \right )^k\left ( \sqrt[]{x} \right )^{15-k}=C_{15}^k.(-1)^k.x^{-k}.x^{\frac{15-k}{2}}$ Ta có $T_6=C_{15}^{6}.x^{-6}.x^{\frac{9}{2}}=C_{15}^{6}.x^{\frac{-3}{2}}$. |
|
|
|
giải đáp
|
nhị thức niuton 6
|
|
|
|
Số hạng tổng quát $T_k=C_{10}^k\left ( \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \right )^k\left ( \sqrt[3]{x} \right )^{10-k}=C_{10}^k.x^{-k/5}.x^{\frac{10-k}{3}}$ Giả sử số hạng giữa mà bạn muốn tìm là $T_5$ thì nó là $T_5=C_{10}^{5}.x^{-1}.x^{\frac{5}{3}}=C_{10}^{5}.x^{\frac{2}{3}}=C_{10}^{5}\sqrt[3]{x^2}$. |
|
|
|
giải đáp
|
tìm nguyên hàm
|
|
|
|
$\int\limits_{}^{}\sin ^2x.d(sinx)=\frac{\sin^3x}{3}+C.$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tính nguyên hàm
|
|
|
|
$\frac{(x^2+1)}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{1}{2}\left ( -\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1} \right )$. Suy ra $\int\limits\frac{(x^2+1)dx}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{x+1}+\ln|x-1|+\ln|x+1|\right )+C.$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính nguyên hàm
|
|
|
|
$\frac{1+x^3}{x^3-5x^2+6x}=\frac{1}{6}\left ( 6+\frac{27}{2-x}-\frac{56}{3-x}+\frac{1}{x} \right )$. Suy ra $\int\limits\frac{(1+x^3)dx}{x^3-5x^2+6x}=\frac{1}{6}\left ( 6x-27\ln|2-x|+56\ln|3-x|+\ln|x|\right )+C.$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính nguyên hàm
|
|
|
|
$\int\limits\frac{x}{x^3-3x+2}=\frac{1}{9}\left (\frac{3}{(x-1)^2}-\frac{2}{1-x}-\frac{2}{x+2} \right )$ Suy ra $\int\limits\frac{xdx}{x^3-3x+2}=\frac{1}{9}\left (-\frac{3}{x-1}+2\ln|1-x|-2\ln|x+2| \right )+C$ |
|