a.Ta có
$|y|=\left| {\sin^5 x+\sqrt 3 \cos x} \right| \le \left| {\sin^5x } \right|+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|\le\sin^4x+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|$
Chú ý là $|\sin x | \le 1\Rightarrow |\sin x |^5 \le \sin^4x$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ \sin x =1 \end{matrix}} \right.$.
Suy ra
$y \le (1-\cos^2x)^2+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|=(1-t^2)^2+\sqrt 3$.
trong đó $0 \le t=|\cos x| \le 1.$
Ta có sẽ chứng minh $(1-t^2)^2+\sqrt 3t \le \sqrt 3$,
Thật vậy, BDT trên
$\Leftrightarrow (t^2-1)^2+\sqrt 3(t-1) \le 0$
$\Leftrightarrow (t-1)\left[ {(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3} \right] \le 0\qquad (*)$
Bây giờ ta sẽ chứng minh
$g(t)=(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3=t^3+t^2-t+\sqrt 3-1>0$ với $0 \le t \le 1.$
Ta có $g'(t)=3t^2+2t-1=0\Leftrightarrow t=1/3$.
Lập bảng biến thiên của $g(t)$ ta sễ suy ra $g(t) \ge g(1/3)>0.$
Nên $(*)\Leftrightarrow t\le 1,$ luôn đúng.
Vậy $|y| \le \sqrt 3\Leftrightarrow -\sqrt 3 \le y \le \sqrt 3.$
Vậy
$\min y=-\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=-1$.
$\max y=\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=1$.

Ta có
$|y|=\left| {\sin^5 x+\sqrt 3 \cos x} \right| \le \left| {\sin^5x } \right|+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|\le\sin^4x+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|$
Chú ý là $|\sin x | \le 1\Rightarrow |\sin x |^5 \le \sin^4x$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ \sin x =1 \end{matrix}} \right.$.
Suy ra
$y \le (1-\cos^2x)^2+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|=(1-t^2)^2+\sqrt 3$.
trong đó $0 \le t=|\cos x| \le 1.$
Ta có sẽ chứng minh $(1-t^2)^2+\sqrt 3t \le \sqrt 3$,
Thật vậy, BDT trên
$\Leftrightarrow (t^2-1)^2+\sqrt 3(t-1) \le 0$
$\Leftrightarrow (t-1)\left[ {(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3} \right] \le 0\qquad (*)$
Bây giờ ta sẽ chứng minh
$g(t)=(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3=t^3+t^2-t+\sqrt 3-1>0$ với $0 \le t \le 1.$
Ta có $g'(t)=3t^2+2t-1=0\Leftrightarrow t=1/3$.
Lập bảng biến thiên của $g(t)$ ta sễ suy ra $g(t) \ge g(1/3)>0.$
Nên $(*)\Leftrightarrow t\le 1,$ luôn đúng.
Vậy $|y| \le \sqrt 3\Leftrightarrow -\sqrt 3 \le y \le \sqrt 3.$
Vậy
$\min y=-\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=-1$.
$\max y=\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=1$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Trước hết nêu ra (không chứng minh) bài toán sau đây. Hai tam giác $ABC$ và $MNK$ có chung trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
Ta có
$N$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k$ nên
$\overrightarrow{NB}=-k\overrightarrow{NC}\Rightarrow\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=-k\overrightarrow{AC}+k\overrightarrow{AN}\Rightarrow (k-1)\overrightarrow{AN}= -\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$.
Tuơng tự như vậy ta có
$(k-1)\overrightarrow{BK}= -\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{BA}$
$(k-1)\overrightarrow{CM}= -\overrightarrow{CA}+k\overrightarrow{CB}$
Suy ra
$(k-1)(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CM})=(k+1)\left ( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \right )=\overrightarrow{0}$
suy ra $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$,đpcm.

$x -2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1=\left (\sqrt{x-1}-1 \right )^2 \ge 0$
Vậy $\min (x -2\sqrt{x-1})=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x=2.$

2. $a-\sqrt a+1=(\sqrt a)^2 -2.\sqrt a . \frac12+\frac14+\frac34=\left (\sqrt a - \frac12 \right )^2+\frac34 \ge \frac34.$
Vậy $\min (a-\sqrt a+1)= \frac34 \Leftrightarrow \sqrt a = \frac12\Leftrightarrow a = \frac14.$

6. PT xác định khi $2x-1 \ge 0\Leftrightarrow x \ge 1/2.$
PT $\Leftrightarrow 2x-1=4\Leftrightarrow 2x=5\Leftrightarrow x=5/2$, thỏa mãn.
Vậy $x=5/2.$

4. Biểu thức có nghĩa
$\Leftrightarrow \begin{cases}x-1 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases}\Leftrightarrow x=1.$

a. Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/117780/tim-cac-nghiem-nguyen-cu-pt

   $\frac{\overline{CA} }{\overline{CB} }=-\frac{\overline{DA} }{\overline{DB} }\Rightarrow \frac{\overline{CB} }{\overline{CA} }=-\frac{\overline{DB} }{\overline{DA} }\Rightarrow \frac{\overline{CA} +\overline{AB}}{\overline{CA} }=-\frac{\overline{DA} +\overline{AB}}{\overline{DA} }$
$\Rightarrow 1+\frac{\overline{AB}}{\overline{CA} }=-1-\frac{\overline{AB}}{\overline{DA} }\Rightarrow\frac{\overline{AB} }{\overline{AC} }+\frac{\overline{AB} }{\overline{AD} }=2\Rightarrow $ đpcm.

Ta dễ chứng minh được $1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Do đó
$A_n=(1+2+3+4+...+n)-7=\frac{n(n+1)}{2}-7\Rightarrow 2A_n=n(n+1)-14$
Ta sẽ chứng minh $2A_n$ không chia hết cho $5$, tức là $A_n$ không chia hết cho $5$ nên nó cũng không chia hết cho $10$. Thật vậy, xét các trường hợp
+ $n=5k\Rightarrow 2A_n=5k(5k+1)-14 $ không chia hết cho $5$.
+ $n=5k+1\Rightarrow 2A_n=(5k+1)(5k+2)-14=25k^2+15k-12 $ không chia hết cho $5$.
+ $n=5k+2\Rightarrow 2A_n=(5k+2)(5k+3)-14=25k^2+25k-8 $ không chia hết cho $5$.
+ $n=5k+3\Rightarrow 2A_n=(5k+3)(5k+4)-14=25k^2+35k-2 $ không chia hết cho $5$.
+ $n=5k+4\Rightarrow 2A_n=(5k+4)(5k+5)-14=25k^2+45k+8 $ không chia hết cho $5$.
Ta có đpcm.

Với $n=1$ thì $A_1=120$ không chia hết cho $11$. Vậy bài toán này sai.

Giả sử ta muốn đặt $8t^3+1=ku$ thì khi đó $k^3u^3=162t-27$. Tức là có hệ
$\begin{cases}k^3u^3-162t+27=0 \\ 8t^3-ku +1=0\end{cases}$
Ta muốn đây trở thành hệ đối xứng thì phải có
$\frac{k^3}{8}=\frac{-162}{-k}=\frac{27}{1}\Rightarrow k=6.$

Em xem ở đây nhé 
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113731/bat-dang-thuc