PT
$\Leftrightarrow 2\log _2(x-1)^2\sqrt{x^2-2x-1}=6 $
$\Leftrightarrow (x-1)^2\sqrt{x^2-2x-1}=8$
$\Leftrightarrow (x^2-2x+1)\sqrt{x^2-2x-1}=8$
Đặt $t=\sqrt{x^2-2x-1}$ thì PT trên
$\Leftrightarrow (t^2+2)t=8$
$\Leftrightarrow t^3+2t-8=0$
PT bậc ba này có nghiệm không đẹp và nếu muốn làm tiếp em có thể sử dụng phương pháp Cardano giải PT bậc ba tổng quát.

PT
$\Leftrightarrow 4.6^x-2.3^x+6.2^x-3=0$
$\Leftrightarrow 2.3^x(2.2^x-1)+3(2.2^x-1)=0$
$\Leftrightarrow (2.3^x+3)(2^{x+1}-1)=0$
$\Leftrightarrow  2^{x+1}-1=0$
$\Leftrightarrow  x=-1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

PT
$\Leftrightarrow 1+x+\log _2(2011-2^{x-1})=\log _2(2^x+1)^2$
$\Leftrightarrow 1+x=\log _2(2^{2x}+2.2^x+1)-\log _2(2011-2^{x-1})$
$\Leftrightarrow 1+x=\log _2\dfrac{2^{2x}+2.2^x+1}{2011-2^{x-1}}$
$\Leftrightarrow 2^{x+1}=\dfrac{2^{2x}+2.2^x+1}{2011-2^{x-1}}$
$\Leftrightarrow 2^{x+1}\left (2011-2^{x-1} \right )=2^{2x}+2.2^x+1$
$\Leftrightarrow 4022.2^x-2^{2x}=2^{2x}+2.2^x+1$
$\Leftrightarrow 2.2^{2x}-4020.2^x+1=0$
Từ đây dễ thấy PT ban đầu chỉ có hai nghiệm $x_1,x_2$, chú ý là nó phải thỏa mãn điều kiện $2^x <4022.$ Theo định lý Vi-et ta có
$2^{x_1}.2^{x_2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}=2^{-1}\Rightarrow x_1+x_2=-1.$

Đặt $A_n=1\underbrace{00\ldots00}_{\text {2n chữ số 0} }1$.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $11 \mid A_n$ với mọi $n \in \mathbb N.$
Thật vậy,
+ Với $n=0,n=1$ dễ kiểm tra $11 \mid 11=A_1,11 \mid 1001=A_2.$
+ Giả sử rằng $11 \mid A_k$ với $k \in \mathbb N.$ Ta có
$$A_{k+1}=1\underbrace{00\ldots00}_{\text {2k+2 chữ số 0} }1=\left[ {1\underbrace{00\ldots00}_{\text {2k chữ số 0} }1-1} \right].100+1=100A_k-99$$
Từ đây dễ suy ra $11 \mid A_{k+1}$. Ta có đpcm.

3. Em xem ở đây nhé 
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114789/bai-nay

1. BDT cần chứng minh  $\Leftrightarrow \frac{a^{n}+b^{n}}{2}>\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$.
Và em có thể tham khảo tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/101424/bai-101414

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/102092/bai-102080

b/ $y= \frac{\cos^2x+\sin x.\cos x}{1+\sin^2x}= \frac{\cos^2x+\sin x.\cos x}{2\sin^2x+\cos^2x}.$
+ Nếu $\cos x =0\Rightarrow y=0$.
+ Nếu $\cos x \ne 0$ thì
$y=\frac{1+\dfrac{\sin x}{\cos x}}{2\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x} \right )^2+1}=\frac{1+\tan x}{2\tan^2x+1}=\frac{1+t}{1+2t^2}$
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(t)=\frac{1+t}{1+2t^2}$ với $t \in \mathbb R$ ta có
$\min y=\frac{2+\sqrt 6}{4}\Leftrightarrow \tan x =-1+\sqrt{\frac{3}{2}}$
$\max y=\frac{2-\sqrt 6}{4}\Leftrightarrow \tan x =-1-\sqrt{\frac{3}{2}}$

$\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }\left[ {\frac{1-x^2}{(1+x^{2})^{2}}+\frac{1+x^2}{(1+x^{2})^{2}}} \right]dx=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }d\left (\frac{x}{1+x^2}\right )+\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }\frac{dx}{1+x^2}$
$=\frac{1}{2}\left[ {\frac{x}{1+x^2}} \right]_{1}^{\sqrt{2} }+\frac{1}{2}\left[ {\arctan x} \right]_{1}^{\sqrt{2} }=\frac{-6+4 \sqrt2-3\pi+12 \arctan \sqrt 2}{24}.$

PT
$\Leftrightarrow \left[ {\log _3(3^x-1)+2} \right].\log _3(3^x-1)=3$
$\Leftrightarrow\log^2 _3(3^x-1)+2\log _3(3^x-1)-3=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \log _3(3^x-1)=-3\\\log _3(3^x-1)=1  \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}3^x=3^{-3}+1\\3^x=4  \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}x=\log_3(3^{-3}+1)\\x=\log_34  \end{matrix}} \right.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

2,  PT
$\Leftrightarrow 2\log_{2}^2x-5\log_2x-3=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \log_2x=-1/2\\  \log_2x=3 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2^{-1/2}\\  x=8 \end{matrix}} \right.$

1,  PT
$\Leftrightarrow 2\log_2^2x-\frac{2}{3}\log_2x+3=0$
$\Leftrightarrow 6\log_2^2x-2\log_2x+9=0$
PT này vô nghiệm.