2. Chú ý rằng nếu $t=\left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x\Leftrightarrow x = \log_{\frac{\sqrt 5+1}{2}}t$ nên để PT có hai nghiệm $x$ trái dấu thì PT $t^2-2t+m=0$ có hai nghiệm dương $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1<1<t_2.$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' >0 \\ S>0\\P>0\\f(0).f(1)<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1-m >0 \\ 2>0\\m>0\\m(m-1)<0 \end{cases}\Leftrightarrow 0<m<1.$

1. PT $\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x+m\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x=2$
Đặt $t=\left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x$ thì PT $\Leftrightarrow t+\frac{m}{t}=2\Leftrightarrow t^2-2t+m=0$.
Với $m=3$ thì PT trên đã cho vô nghiệm vì $t^2-2t+3=(t-1)^2+2>0.$

2. Điều kiện $x>0.$ PT
$\Leftrightarrow (\log_2x+1)^2-\log_2x-3=0$
$\Leftrightarrow \log_2^2x+\log_2x-2=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \log_2x=-2\\ \log_2x=1 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{1}{4}\\ x=2 \end{matrix}} \right.$

1. PT
$\Leftrightarrow 2^{2x}+(x-1).2^x-2^{x+2}-4x+4=0$
$\Leftrightarrow 2^{2x}-2^{x+2}+(x-1).2^x-4(x-1)=0$
$\Leftrightarrow 2^x(2^x-4)+(x-1)(2^x-4)=0$
$\Leftrightarrow(2^x+x-1)(2^x-4)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2^x=1-x\\ x=2 \end{matrix}} \right.$
Mặt khác $2^x \nearrow, 1-x \swarrow$ nên PT $2^x=1-x$ có nghiệm duy nhất $x=0.$

b. Đặt $y=f(x)=\frac{x^2}{2}-2\ln(x-1)+3$ trên $\left[ {\frac{3}{2},4} \right]$.
Ta có $f'(x)=x-\frac{2}{x-1}=\frac{x^2-x-2}{x-1}$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=2.$
Lập bảng biến thiên của hàm số này ta suy ra
$\max y = 11-2\ln 3\Leftrightarrow x=4$
$\min y = 5\Leftrightarrow x=2$

Em tham khảo tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114347/giai-bat-phuong-trinh

Em tham khảo tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114347/giai-bat-phuong-trinh

a. Đặt $t= \cos x$ thì $-1 \le t \le 1$ và  
$y= f(t) = 4t^3-3t-\frac32(2t^2-1)+3t+\frac12=4t^3-3t^2+2$.
Ta có $f'(t) =12t^2-6t$.
Lập bảng biến thiên và khảo sát đồ thị hàm số $f(t)$ trên $[-1,1]$ ta được
$\min y =-5\Leftrightarrow t=-1.$
$\max y =3\Leftrightarrow t=1.$

b. Theo định lý Ta-let ta có
$\frac{NI}{BF}=\frac{NA}{AF}=\frac{NK}{CF}$
Mặt khác theo câu a)
$\frac{NI}{DC}=\frac{NK}{BD}$
Suy ra
$\frac{BF}{DC}=\frac{CF}{BD}\Rightarrow BF.BD=CF.CD$
$\Rightarrow (BD+DF).BD=CF.(CF+DF)$ với giả sử là $AC>AB$ thì $B,D,F,C$ nằm theo thứ tự này từ trái qua phải trên đường thẳng $BC$.
$\Rightarrow BD^2-CF^2+DF(BD-CF)=0$
$\Rightarrow (BD-CF)(BD+CF+DF)=0$
$\Rightarrow BD=CF.$

a. Ta có $\widehat{IKC}+\widehat{BCK}=180^\circ$ do $IK \parallel BC.$
$\Rightarrow \widehat{NKO}+\widehat{DCO}=90^\circ\Rightarrow \widehat{NKO}=\widehat{DOC}\Rightarrow \triangle NKO \sim \triangle DOC (g.g)$.
$\Rightarrow NK.DC=ON.DO=R^2$.
Chứng minh tuơng tự $NI.BD=R^2$.
Suy ra $NI.BD=NK.DC\Rightarrow$ đpcm.

$\left\{ \begin{array}{l} x^{3}+x^{2}=1+y-x+xy\qquad (1)\\ 7xy+y=7+x \qquad (2)\end{array} \right.$
PT $(2) \Leftrightarrow y(7x+1)=x+7\Leftrightarrow y=\frac{x+7}{7x+1}$, dễ thấy vì $7x +1 \ne 0$.
Thay vào PT $(1)$ ta được
     $x^{3}+x^{2}=1+\frac{x+7}{7x+1}-x+x\frac{x+7}{7x+1}$
$\Leftrightarrow -8-14 x+7 x^2+8 x^3+7 x^4=0$
$\Leftrightarrow (-1+x) (8+22 x+15 x^2+7 x^3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\\ 7x^3+15x^2+22x+8=0 \end{matrix}} \right.$
PT $7x^3+15x^2+22x+8=0$ có nghiệm không đẹp nếu bạn muốn tìm nghiệm cụ thể có thể sử dụng phuơng pháp Cardano
http://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_ba

PT
$\Leftrightarrow \sin^{3} x-\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(\sin^2 x+\cos^2 x)$
$\Leftrightarrow \sin^{3} x-\cos ^{3}x=\sin^{3} x+\cos ^{3}x+\sin^2x\cos x+\cos^2 x\sin x$
$\Leftrightarrow 2\cos ^{3}x+\sin^2x\cos x+\cos^2 x\sin x=0$
$\Leftrightarrow \cos x(2\cos^{2}x+\sin^2x+\cos x\sin x)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x=0\\ 2\cos^{2}x+\sin^2x+\cos x\sin x=0 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x=0\\ 2+\tan^2x+\tan x=0  (\text {vô nghiệm} )\end{matrix}} \right.$

3. PT $\Leftrightarrow 3^{\frac{2}{x}}=3^{\frac{1}{2}}.3^{3x-1} \Leftrightarrow 3^{\frac{2}{x}}=3^{3x-\frac{1}{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{2}{x}=3x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 6x^2-x-4=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{12}$.

2. PT
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5-1}{4} \right )^x+\left ( \frac{\sqrt 5+1}{4} \right )^x=3.2^{-x}$
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x+\left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x=3$
Chú ý rằng $\frac{\sqrt 5-1}{2}.\frac{\sqrt 5+1}{2}=1$ nên nếu đặt $t=\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x$ thì $\left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x=\dfrac1t$.
PT $\Leftrightarrow t+\dfrac1t-3=0\Leftrightarrow t^2-3t+1=0\Leftrightarrow t=\frac{3\pm\sqrt 5}{2}=\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^{\mp 2}$
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x=\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^{\mp 2}\Leftrightarrow x=\pm 2.$

1. PT $\Leftrightarrow 9^{\log _22x}+3.9\log _{3 }3=0\Leftrightarrow 9^{\log _22x}+27=0$
PT này vô nghiệm vì $9^{\log _22x}+27 >0+27>0$.