em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114201/tranh-thu-len-hoi-cac-ad-may-cau

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Cách làm thứ hai là cách làm chính xác.


Lỗi sai của cách làm thứ nhất là ở chỗ khẳng định từ bảng biến thiên rằng nếu ta có
$f(t) \le f(\dfrac14)=-\dfrac54$ thì $-\dfrac54$ là GTLN cần tìm.
Điều này là sai vì khi thực hiện vẽ bảng biến thiên, nhiều khả năng học sinh sẽ cho rằng
$\max_{[\frac{1}{4};1]} f(t) = \max \{f(\dfrac14),f(1) \}$.

Ta có thể thấy ngay rằng $f(1)=7 > f(\dfrac14)=-\dfrac54$ nhưng khi mà $t=xy=1$ thì ta lại không tìm được các giá trị $x,y$ thỏa mãn vì hệ $\begin{cases}x+y=4 \\ xy=1\\0<x ,y\le 1 \end{cases}$ vô nghiệm. Do đó sai lầm khi kết luận rằng GTLN sẽ nhận giá trị còn lại đó là $\max_{[\frac{1}{4};1]} f(t)= f(\dfrac14)=-\dfrac54$.

Một lý do rất đơn giản để lý giải điều này đó là biết đâu đấy trong khoảng từ $[\dfrac{9}{32};1]$ lại có một số $t$ khác nữa làm cho hàm $f$ nhận giá trị lớn hơn và ta vẫn có thể tìm ra dấu bằng. Và chính xác như vậy, số $t=\dfrac13$ chính là số tạo ra điều đó.
Về mặt quan sát ta sẽ thấy ngay rằng $-\dfrac{11}{9}= f(\dfrac13) > f(\dfrac14) = -\dfrac54$, và khi $t=\dfrac13$ thì sẽ tìm được $x,y$ như trong phần kết luận của lời giải thứ hai. Có thể thấy rằng việc tìm ra miền xác định của $t \in [\dfrac14;1]$ là chưa "chặt", và lời giải hai đã giải quyết được vấn đề đó với việc đưa ra khoảng $t \in [\dfrac14;\dfrac13]$. Tuy vậy trong phần kết luận cuối lời giải hai mà em đăng lên đây có một lỗi nhỏ về chính tả, em nên tìm và sửa nó nhé :)

Em xem tại đấy nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113293/cac-phuong-phap-giai-toan-cuc-tri-hinh-hoc-bang-vector

Do $\begin{cases}x,y \in \mathbb Z \\ x^2+y^2=1 \end{cases} \implies x,y \in \{-1,0,1 \}$.
Do vai trò của $x,y$ như nhau, vai trò của $a,b$ như nhau nên ta xét các trường hợp

+ Nếu $(x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}$ thì $M=a+ab$ với $a+b=2.$
Suy ra $M=a+a(2-a)=3a-a^2=\frac{9}{4}-\left ( a-\frac{3}{2} \right )^2 \le \frac{9}{4}$
$\implies M \le 2$, do $M \in \mathbb Z.$
$\implies\max M=2\Leftrightarrow \begin{cases}3a-a^2=2 \\ a+b=2 \end{cases}$
Tổng quát $\max M=2\Leftrightarrow (a,b) \in \{(1,1),(2,0),(0,2)\}$.

+ Nếu $(x,y) \in \{(0,-1),(-1,0) \}$ thì $M=-a+ab$ với $a+b=2.$
Suy ra $M=-a+a(2-a)=a-a^2=\frac{1}{4}-\left ( a-\frac{1}{2} \right )^2 \le \frac{1}{4}$
$\implies M \le 0$, do $M \in \mathbb Z.$
$\implies\max M=0\Leftrightarrow \begin{cases}a-a^2=0 \\ a+b=2 \end{cases}$
Tổng quát $\max M=0\Leftrightarrow (a,b) \in \{(1,1),(2,0),(0,2)\}$.

Tóm lại $\max M =2\Leftrightarrow \begin{cases}(x,y) \in \{(0,1),(1,0) \} \\ a,b) \in \{(1,1),(2,0),(0,2)\} \end{cases}$.

b. 
$A=\frac{\tan80}{\cot25+\cot75}-\frac{\cot10}{\tan25+\tan75}$

$A=\frac{\tan80}{\dfrac{\sin100}{\sin25\sin 75}}-\frac{\tan80}{\dfrac{\sin100}{\cos25\cos 75}}$

$A=-\frac{\tan100}{\sin100}\left ( \sin25\sin 75 -\cos25\cos 75\right )$

$A=-\frac{\tan100}{\sin100}\left ( -\cos 100\right )$

$A=1.$

Điều kiện $x \ge 5$.
Đặt $t= \sqrt{x-5}+\sqrt{x} \ge 0$ thì $t^2=2x-5+2\sqrt{x^2-5x}$. PT đã cho
$\Leftrightarrow t^2+2t-48=0\Leftrightarrow t=6$.
Suy ra  $\sqrt{x-5}+\sqrt{x}=6$.
$\Leftrightarrow 2x-5+2\sqrt{x^2-5x}=36$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-5x}=41-2x$
$\Leftrightarrow \begin{cases}5 \le x \le \frac{41}{2} \\ 4(x^2-5x)=(41-2x)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\frac{1681}{144}.$

a. Điều kiện $x, y \ge 2.$ Từ HPT ta có
    $\sqrt{x+5}+\sqrt{y-2}=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+5}$
$\Rightarrow \sqrt{x+5}-\sqrt{x-2}-(\sqrt{y+5}-\sqrt{y-2})=0$
$\Rightarrow \frac{7}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}}-\frac{7}{\sqrt{y+5}+\sqrt{y-2}}=0$
$\Rightarrow \sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}=\sqrt{y+5}+\sqrt{y-2}$

Nếu $x >y$ thì $\begin{cases}\sqrt{x+5}>\sqrt{y+5} \\\sqrt{x-2}>\sqrt{y-2} \end{cases}\Rightarrow \sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}>\sqrt{y+5}+\sqrt{y-2}$

Nếu $x <y$ thì $\begin{cases}\sqrt{x+5}<\sqrt{y+5} \\\sqrt{x-2}<\sqrt{y-2} \end{cases}\Rightarrow \sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}<\sqrt{y+5}+\sqrt{y-2}$

Vậy $x=y$. Thay trở lại một PT ban đầu ta được  $\sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}=7$.

Nếu $x >11$ thì $\begin{cases}\sqrt{x+5}>4 \\\sqrt{x-2}>3 \end{cases}\Rightarrow \sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}>7$

Nếu $x <11$ thì $\begin{cases}\sqrt{x+5}<4 \\\sqrt{x-2}<3 \end{cases}\Rightarrow \sqrt{x+5}+\sqrt{x-2}<7$

Vậy $x=y=11$.

Áp dụng BDDT Cô-si ta có

$\frac{a^3}{b+1}+\frac{b+1}{4}+\frac{1}{2} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+1}.\frac{b+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}a$

Tương tự ta có

$\frac{b^3}{a+1}+\frac{a+1}{4}+\frac{1}{2} \ge \frac{3}{2}b$

Cộng theo từng vế hai BĐT này ta được

$A + \frac{a+b+2}{4} +1 \ge \frac{3}{2}(a+b)$

Suy ra

$A \ge \frac{5}{4}(a+b) -\frac{3}{2} \ge \frac{5}{4}.2\sqrt{ab} -\frac{3}{2} =1.$

Vậy $\min A = 1 \Leftrightarrow a=b=1.$

$y'=3x^2-6mx+(m-1)$. Ta thấy rằng
$\Delta'=9m^2-3(m-1)=9m^2-3m+3=\left ( 3m-\frac{1}{2} \right )^2+2\frac{3}{4}>0 \quad \forall m.$
Điều này chứng tỏ PT $y'=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho luôn có cực trị, thậm chí có cả cực đại và cực tiểu $ \forall m.$

$y'=3mx^2+6mx-(m-1)$. Để hàm số bậc ba không có cực trị thì PT $y'=0$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \Delta'_{y'}\leq0\\ m=0 \end{matrix}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 9m^2+3(m-1)\leq0\\ m=0 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \frac{-1-\sqrt{13}}{6}\leq m\leq \frac{-1+\sqrt{13}}{6}$

$y'=x^2+2mx+m+6$. Để hàm số bậc ba có cả cực đại và cực tiểu thì PT $y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m^2-m-6>0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m>3\\m<-2 \end{matrix}} \right.$.

$y'=3x^2+4(m-1)x+2m+1$. Để hàm số có hai cực trị thì $\Delta'_{y'} > 0$
$\Leftrightarrow 4(m-1)^2-3(2m+1)>0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m<\frac{7-3\sqrt 5}{4}\\m>\frac{7-3\sqrt 5}{4}  \end{matrix}} \right.$
Mặt khác
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1+x_2=0\\ x_1x_2=2 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m-1=0\\ \frac{2m+1}{3}=2 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m=1\\ m=\frac{5}{2} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}.$

Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=1$ khi và chỉ khi
$\begin{cases}f'(1)=0 \\ f''(1)<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3-6m+3(m^2-1)=0 \\ 6-6m<0 \end{cases}\Leftrightarrow m=2.$

Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=2$ khi và chỉ khi
$\begin{cases}f'(2)=0 \\ f''(2)>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}12-12m+m^2-1=0 \\ 12-6m>0 \end{cases}\Leftrightarrow m=1.$