Theo hệ thức Vi-ét :
$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2(m-2)}{m-4}=2+\frac{4}{m-4} \\ x_1x_2=\frac{m-1}{m-4}=1+\frac{3}{m-4}\end{cases}$
Suy ra đcmp.

Theo hệ thức Vi-ét :
$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m-2}{2} \\ x_1x_2=\frac{m(m-4)}{8}\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}(x_1+x_2)^2=\frac{(m-2)^2}{4} \\ 2x_1x_2+1=\frac{m^2-4m+4}{4}\end{cases}$
Suy ra hệ thức phải tìm là
$$(x_1+x_2)^2=2x_1x_2+1\Leftrightarrow x_1^2+x^2_2=1.$$
Do đó
$$-1 \le x_1,x_2 \le 1.$$

a) Điều kiện $\cos x \ne 0$. PT
$\Leftrightarrow 4\sin x\cos x+6\cos^2 x=1$
$\Leftrightarrow 2\sin 2x+3(1+\cos 2x)=1$
$\Leftrightarrow 2\sin 2x+3\cos 2x=-2$
Đây là PT cơ bản, em tự làm nốt nhé.

Điều kiện $x \ge 2/3.$ PT
$\Leftrightarrow  2\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2} -3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}=0$
$\Leftrightarrow  \left ( 2\sqrt[4]{3x-2}-\sqrt[4]{x+2} \right )\left ( \sqrt[4]{3x-2}-\sqrt[4]{x+2} \right )=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2\sqrt[4]{3x-2}=\sqrt[4]{x+2}\\ \sqrt[4]{3x-2}=\sqrt[4]{x+2} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 16(3x-2)=x+2\\ 3x-2=x+2 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{34}{47}\\ x=2 \end{matrix}} \right.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Viết lại biểu thức dưới dạng
$S=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}} $.
Cho $x \to 0^+, y \to 1^-$ thì $\dfrac{x}{\sqrt{y}} \to 0, \dfrac{y}{\sqrt{x}} \to +\infty.$
Do đó $S \to +\infty$ nên $S$ không có GTLN.

Tìm min, max bằng phương pháp BĐT cổ điển

Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó  $S  = \frac{2-2t}{t+2}$
$\bullet    t \le \frac{1}{4}\Rightarrow \begin{cases}2-2t \ge \frac{3}{2} \\ \frac{1}{t+2} \ge \frac{4}{9}\end{cases}\Rightarrow
S \ge \frac{2}{3}.$
$\bullet    t \ge 0\Rightarrow \begin{cases}2-2t \le 2 \\ \frac{1}{t+2} \le \frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$

Chứng minh không có max

Cho $x,y \to 0^+, z \to \frac{3}{2}^-$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y} \to +\infty \Rightarrow P\to +\infty .$
Do đó biểu thức không có GTLN.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
$a+\frac{1}{b(a-b)}=(a-b)+b+\frac{1}{b(a-b)} \ge 3\sqrt[3]{(a-b).b.\frac{1}{b(a-b)}}=3$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a-b=b=\frac{1}{b(a-b)}\Leftrightarrow a=2,b=1.$

Phương pháp dùng BĐT cơ bản :

Đặt $t=\sin x \cos x$ thì $-\frac{1}{2}\le t =\frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}.$
$A= (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin x \cos x+1=2-2t^2+t=f(t)$
$\bullet \quad$ $A = 1+1+t-2t^2=1+(1-t)(2t+1)\ge 1$ do $-\frac{1}{2}\le t  \le \frac{1}{2}<1.$
$\bullet \quad$ $A = \frac{17}{8}-2\left ( t- \frac{1}{4}\right )^2\le \frac{17}{8}.$
$\min A =1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.$
$\max A =\frac{17}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$

Tìm min, max bằng phương pháp hàm số

Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó
$S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$
Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên
$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$

Phương pháp cổ điển em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113794/chung-minh-giup-minh

Phương pháp hàm số :

Đặt $t=\sin x \cos x$ thì $-\frac{1}{2}\le t =\frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}.$
$A= (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin x \cos x+1=2-2t^2+t=f(t)$
Ta có $f'(t) =1-4t$ nên $f'(t)=0\Leftrightarrow t = \frac{1}{4}.$
Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm $f(t)$ trên $\left[ {-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ ta được
$\min A =1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.$
$\max A =\frac{17}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$

Tìm min bằng phương pháp hàm số :

$P \ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}=t+\frac{9}{t}=f(t)$ trong đó $0<t=x+y+z \le \frac{3}{2}.$
Ta có $f'(t) =1-\frac{9}{t^2}=\frac{t^2-9}{t^2}<0\quad \forall 0<t \le \frac{3}{2}.$
Do đó $f(t) \ge f\left ( \frac{3}{2}\right )=\frac{15}{2}$
$\min P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}.$

Tìm min bằng phương pháp cổ điển :

$P \ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}=(x+y+z) + \dfrac{9}{4(x+y+z)}+\dfrac{27}{4(x+y+z)} \ge 2\sqrt{(x+y+z) . \dfrac{9}{4(x+y+z)}} + \dfrac{27}{4.\dfrac{3}{2}}=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$
$\min P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}.$