c) Đặt $t=x-3$ thì PT
$(t+1)^3+(t-1)^3=8\Leftrightarrow 2t^3+6t=8\Leftrightarrow t^3+3t-4=0$
Pt này có tổng các hệ số $1+3-4=0$ nên nó có một nghiệm $t=1$. Thực hiện phân tích đa thức
thành nhân tử ta có
$\Leftrightarrow (t-1)(t^2+t+4)=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=4.$

Có hai kết quả cần thiết em nên biết và tự tìm cách chứng minh nhé. Đó là
$\begin{cases}\cos 72=\frac{\sqrt 5 -1}{4} \\ \cos 36=\frac{\sqrt 5 +1}{4} \end{cases}$
PT
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5 -1}{2} \right )^x+\left ( \frac{\sqrt 5 +1}{2} \right )^x=3.$
Chú ý rằng
$\left ( \frac{\sqrt 5 -1}{2} \right )\left ( \frac{\sqrt 5 -1}{2} \right )=1$ nên nếu đặt $\left ( \frac{\sqrt 5 +1}{2} \right )^x=t$ thì $\left ( \frac{\sqrt 5 -1}{2} \right )^x=\frac1t$.
PT
$\Leftrightarrow t+\frac1t=3\Leftrightarrow t^2-3t+1=0\Leftrightarrow t=\frac{3\pm\sqrt 5 }{2}=\left ( \frac{\sqrt 5 +1}{2} \right )^{\pm2}\Leftrightarrow x=\pm2.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ tam giác đều $BCE.$
Dễ chứng minh được $\triangle ACE = \triangle DCB \quad (cgc)$ suy ra $BD=AE$.
Mặt khác $\triangle ABE$ vuông tại $B$ nên
$BD^2=AE^2=BA^2+BE^2=BA^2+BC^2$  (đpcm).

Điều kiện $x \ge 2$. PT
$\Leftrightarrow 4(x-1)^2(x-2)^2 = 2(x+1)(x-2)$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=2\\ 2(x-1)^2(x-2) = x+1\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=2\\ 2x^3-8x^2+9x-5=0\end{matrix}} \right.$
Pt bậc ba này không có nghiệm đẹp và phải dùng phương pháp giải PT bậc ba tổng quát để tìm ra nghiệm
$x_2 =\frac{1}{6}\left ( 8+\sqrt[3]{134-6\sqrt{471}}+\sqrt[3]{134+6\sqrt{471}} \right )$.

Đặt $t= \cos x$ thì $-1 \le t \le 1$ và  
$y= f(t) = 4t^3-3t-\frac32(2t^2-1)+3t+\frac12=4t^3-3t^2+2$.
Ta có $f'(t) =12t^2-6t$.
Lập bảng biến thiên và khảo sát đồ thị hàm số $f(t)$ trên $[-1,1]$ ta được
$\min y =-5\Leftrightarrow t=-1.$
$\max y =3\Leftrightarrow t=1.$

Đặt $t= \cos x$ thì $0 \le t \le 1$ và  $y= f(t) = 2t - \frac{4}{3}t^3$.
Ta có $f'(t) =2-4t^2$.
Lập bảng biến thiên và khảo sát đồ thị hàm số $f(t)$ trên $[0,1]$ ta được
$\min y =0\Leftrightarrow t=0.$
$\max y =\frac{2\sqrt 2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Đặt $z=a+bi, \quad a,b \in \mathbb R.$ Ta có
$|z-2-i|=\sqrt{52}\Leftrightarrow \left| {(a-2)+(b-1)i} \right|=\sqrt{52}\Leftrightarrow (a-2)^2+(b-1)^2=52.$
Ta cần tìm $a,b$ sao cho $|z-4+2i|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow A=(a-4)^2+(b+2)^2$ nhỏ nhất.
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức sau
     $4(a-4)^2+4(b+2)^2 \ge (a-2)^2+(b-1)^2$
$\Leftrightarrow 3a^2-28a+3b^2+18b+75 \ge 0$
$\Leftrightarrow 2a^2-24a+72+2b^2+20b+50+a^2-4a+4+b^2-2b+1 \ge 52$
$\Leftrightarrow 2(a-6)^2+2(b+5)^2+(a-2)^2+(b-1)^2 \ge 52$
$\Leftrightarrow (a-6)^2+(b+5)^2 \ge 0$.
Đây là điều luôn đúng.
Vậy $\min A =13 \Rightarrow z=6-5i.$

Câu a) là dạng bài tập cơ bản và thuộc dạng bài bắt buộc phải làm được trong các kì thi đại học.
Tuy vậy để làm được câu b) thì câu a) lại có tác dụng rất tích cực trong cách hình dung ra dáng điệu của đồ thị.
Chứ ý rằng PT $x^2-2x^2-m \Leftrightarrow -x^2+2x^2+3 = -m +3$ và những đường thẳng có PT $y=-m+3$ là những đường thẳng song song với trục hoành. Vì thế để PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì những đường thẳng này phải nằm giữa cực đại và cực tiểu.
Theo câu a) cực đại sẽ là $x=\pm1, y=4$, cực tiểu là $x=0, y=3$.
Vậy ta cần phải có $3 < -m+3 <4 \Leftrightarrow \boxed{-1<m<0.}$

Bài toán này của em không đúng vì với $x=1, y=44$ thì $8x+5y=228$ chia hết cho $19$ trong khi đó $11x+2y=99$ không chia hết cho $19$.

Em xem bài tương tự tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Dang-Nhap?returnurl=http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115184/tich-phan-dac-biet-9

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện $\sin 2x \ne 0.$ PT
$\Leftrightarrow \cot x-\tan x=\frac{2}{\sin2x}-4\sin2x$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2(1-2\sin^22x)}{\sin2x}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{2\cos4x}{\sin2x}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\cos4x}{\sin2x}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos2x}{\sin 2x}=\frac{\cos4x}{\sin2x}$
$\Leftrightarrow \cos 2x =\cos 4x.$
Đến đây đơn giản em tự viết nốt nghiệm nhé.

Điều kiện $x\ne -1.$ PT
$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{(x+1)^2}.x^2=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 4x^4=(x+1)^2$
$\Leftrightarrow \pm2x^2=x+1$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2x^2+x+1=0    (\text { vô nghiệm})\\2x^2-x-1=0 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\\x=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.$

          $(\sqrt{x}+1).P>\sqrt{x}+n$
$\iff (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)>\sqrt{x}+n$
$\iff x-1>\sqrt{x}+n$
$\iff x-1-\sqrt{x}>n$
Như vậy để $n$ sao cho có $x$ thỏa mãn trên thì chỉ cần $n < \max (x-1-\sqrt{x})$.
Mặt khác $\max (x-1-\sqrt{x})=+\infty$ nên câu trả lời của bài toán là với mọi $n$.