Anh nghĩ các bước biến đổi của em không sai nhưng có lẽ nó lại làm phức tạp bài toán hơn :)
Thực chất em đang cố gắng đưa về dạng lượng giác cơ bản, đó là $\sin u=\sin v$ hoặc $\sin u =\cos v$ chứ không nên tạo ra các tình huống như là $\sin u = K\sin v$ với $K \ne 1$.
Thực tế nếu nhận được đề bài là $\sin (3x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt 2 \sin x$ thì anh cũng chỉ có cách khai triển
ra và đưa về dạng chia cho $\cos^3 x$ như em nói. Anh nghĩ đấy là tự nhiên và cơ bản hợp tình hợp lý nhất có thể nghĩ đến.
Chúc em ôn thi tốt!

Đường thẳng đi qua $A(3,20)$ hệ số góc $m$ có dạng $y=m(x-3)+20$.
Để $(d)$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt thì PT sau phải có ba nghiệm phân biệt
      $x^3-3x+2=m(x-3)+20$
$\Leftrightarrow x^3-3x-18-m(x-3) = 0$
$\Leftrightarrow (x-3)(\underbrace{x^2+3x+6-m}_{g(x)})$=0
Để PT này có ba nghiệm phân biệt thì PT $g(x)=0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $3$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_g=3^2-4(6-m) >0 \\ g(3) =24-m \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>-\frac{15}{4} \\ m \ne 24 \end{cases}$.

$x^{2}-4xy+x+2y=0\Rightarrow x^2+x=y(4x-2)\Rightarrow y=\frac{x^2+x}{4x-2}$, dễ thấy $x \ne \frac{1}{2}$.
Thay vào PT thứ hai ta được
            $x^{4}-8x^{2}\frac{x^2+x}{4x-2}+3x^{2}+4\left ( \frac{x^2+x}{4x-2} \right )^{2}=0$
$\iff (x-2)(x-1)x^2(2x^2+1)=0$
Vậy
$(x,y) \in \{ (0,0); (1,1); (2,1)\} $.

Trước hết ta chứng minh một bổ đề sau (em tự chứng minh xem như bài tập nhé ).
Nếu các số thực $x,y,z$ khác $0$ thỏa mãn $x+y+z=0$ thì
$\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left| {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}} \right|$.
Áp dụng bổ đề trên cho $x=a^2, y=b^2, z= -(a^2+b^2)$ ta được
$\sqrt{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{(a^{2}+b^{2})^{2}}} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2}$
Chú ý rằng là hiển nhiên có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}>\frac{1}{a^2+b^2}$.
Suy ra
$A=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(a+b)^{2}}} $
Lại áp dụng bổ đề trên cho $x=a, y=b, z= -(a+b)$ ta được
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

2.
a) $\sin (\cos x)=0 \iff \cos x =k\pi, \quad k \in \mathbb Z. $
Do $-1 \le \cos x \le 1 \implies -1 \le k\pi \le 1 \implies k=0$ vì $k \in \mathbb Z. $
Suy ra $\cos x= 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + l\pi , \quad l \in \mathbb Z. $

b) $\cos (\sin x)=1 \iff \sin x =2k\pi, \quad k \in \mathbb Z. $
Do $-1 \le \sin x \le 1 \implies -1 \le 2k\pi \le 1 \implies k=0$ vì $k \in \mathbb Z. $
Suy ra $\sin x= 0 \iff x = l\pi , \quad l \in \mathbb Z. $

Em xem bài tập tương tự tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/117009/toan-10

a) $y=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x +\sin x \cos x =1-2t^2+t$, với $t=\sin x\cos x. $
Mặt khác $-\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{2} \le \sin x\cos x \le \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{2}\implies -\frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$.
Hơn nữa, $y'(t)=-4t+1$.
Lập bảng biến thiên của hàm số nói trên trong khoảng $\left[ {-\frac{1}{2} , \frac{1}{2}} \right]$ ta được
$\min y=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}$.
$\max y=\frac{9}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) Do $x_1, x_2$ là hai nghiệm của PT nói trên nên ta có
$\begin{cases}x_1^2-6x_1+1=0 \\ x_2^2-6x_2+1=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1^{n+2}-6x_1^{n+1}+x_1^n=0 \\ x_2^{n+2}-6x_2^{n+1}+x_2^n=0 \end{cases}$
$\Rightarrow \left ( x_1^{n+2}+x_2^{n+2} \right )-6\left ( x_1^{n+1}+x_2^{n+1} \right )+\left ( x_1^{n}+x_2^{n} \right )=0$
$\Rightarrow S_{n+2}=6S_{n+1}-S_n$
Mặt khác ta dễ tính được
$S_1 =x_1+x_2 =6 \in \mathbb Z$
$S_2 =x_1^2+x_2^2 =(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-2=34 \in \mathbb Z$
Từ đây bằng phương pháp quy nạp dễ chứng minh $S_n \in \mathbb Z \quad \forall n \in \mathbb N.$

Gọi $M(a,a)$ là điểm thỏa mãn bài toán. Do $M \in (d)$ nên
$a=-2a+4 \Leftrightarrow a = \frac{4}{3} \implies M\left ( \frac{4}{3},\frac{4}{3} \right ).$

+Quan hệ này không có tính phản xạ. Ví dụ khi $x=2$ thì
$2R2 \Leftrightarrow 2+2^2 \le 2$, vô lý.

+ Quan hệ này không có tính đối xứng. Ví dụ khi $x=1, y=2$ thì
$xRy \Leftrightarrow 1+1^2 \le 2$
nhưng
$yRx \Leftrightarrow 2+2^2 \le 1$, vô lý.

+ Quan hệ này có tính phản xứng. vì nếu có hai số $x,y$ sao cho
$\begin{cases}xRy \Leftrightarrow x+x^2 \le y\\ yRx \Leftrightarrow y+y^2 \le x \end{cases}\Rightarrow x^2+y^2 \le 0\Rightarrow x=y=0 $.

+ Quan hệ này có tính truyền. Vì nếu có ba số $x,y,z$ sao cho
$\begin{cases}xRy \Leftrightarrow x+x^2 \le y\\ yRz \Leftrightarrow y+y^2 \le z \end{cases}\Rightarrow x+x^2 \le z\Leftrightarrow xRz $.