c) $y' =\sqrt{4-x^2}-\frac{2x^2}{\sqrt{4-x^2}}=-\frac{2(x^2-2)}{\sqrt{4-x^2}}$
$y'=0\Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2.$
$\max y = 2 \Leftrightarrow x=\sqrt 2$
$\min y = -2 \Leftrightarrow x=-\sqrt 2$

b) Do $|x-1| \ge 0, \quad \forall x\Rightarrow y \ge 1$. Mặt khác thì $y \to +\infty$ khi $x \to +\infty$.
Vậy GTNN của $y$ là $1\Leftrightarrow x=1.$ Và $y$ không có GTLN.

1) Gọi $x,y$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Ta có hệ sau
$\begin{cases}xy= 60\\ x-5=y+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y(y+7)=60 \\ x=y+ 7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=5 \\ x=12\end{cases}$

2. Điều kiện
$\begin{cases}3x^2 -x-2 \ge 0\\ x+1 >0\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x \ge 1\\-1<x \le -2/3  \end{matrix}} \right.$
Do $\sqrt{3x^{2}-x-2}  \geq 0$ nên BPT $\Leftrightarrow \log_{2}(x+1) \ge 0\Leftrightarrow x+1 \ge 1\Leftrightarrow x \ge 0.$
Vậy $x \ge 1.$

Dễ có $3x^{2} -x+2>1, \quad \forall x$ nên điều kiện của BPT là $x \in \mathbb R.$
Mặt khác ta có $\log_{4}(3x^{2} -x+2)=\frac{1}{2}\log_{2}(3x^{2} -x+2)$ nên ta sẽ đặt $t=\sqrt{\frac{1}{2}\log_{2}(3x^{2} -x+2)}>0$
thì BPT
$\Leftrightarrow t+1 > 2t^2 \Leftrightarrow 0<t<1\Leftrightarrow \log_{2}(3x^{2} -x+2)<2\Leftrightarrow 3x^{2} -x+2<4\Leftrightarrow -2/3<x<1.$

2. Để chứng minh câu này ta chỉ cần sử dụng cách làm cộng góc. Ta có các đẳng thức sau
$\widehat{QAI}=\widehat{IQA}$
$\widehat{ADC}=\widehat{APQ}$
suy ra
$\widehat{QAI}+\widehat{ADC}=\widehat{IQA}+\widehat{APQ}=90^\circ$
từ đó có đpcm.

1.Ta có
$\triangle AOC$ cân tại $O$ nên $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$.
Mặt khác $\widehat{OAC}=\widehat{AQP}$ (cùng phụ với $\widehat{APQ}$
suy ra $\widehat{AQP}=\widehat{OCA}$ nên tứ giác $CDQP$ nội tiếp.

b) Đây chỉ là bài toán cộng góc đơn giản.
Ta có $\widehat{EFA}+\widehat{CAM}=\widehat{HAF}+\widehat{HCA}=90^\circ$
suy ra $AM \perp EF.$

a) Ta có $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}=90^\circ$ nên suy ra $EF$ là đường kính của đường tròn
$(H,HA)$, điều đó chứng tỏ $E,H,F$ thẳng hàng.
Mặt khác $HA=HE \Rightarrow \triangle HAE $ cân tại $H\Rightarrow \widehat{EAH}=\widehat{AEH}$
Mà $\widehat{EAH}=\widehat{ACH}$ do đó $\widehat{AEH}=\widehat{ACH}$ và suy ra tứ giác $BECF$ nội tiếp.

b) Hiển nhiên thấy $2-\sin^2 x \ge 1>0$ nên hàm số xác định với mọi $x$.
Sử dụng BĐT Bunhia ta có
$(\sin x +\sqrt{2-\sin^2x})^2 \le (1+1)(\sin^2 x +2-\sin^2 x)=4$
$\Rightarrow -2 \le y \le 2.$
Do đó $\max y = 2 \Leftrightarrow \sin x =1.$
Tuy vậy ta không thể kết luận $\min y =-2$ vì khi đó không có giá trị nào của $\sin x$ làm cho điều
này thỏa mãn. Muốn tìm GTNN ta làm như sau:
Theo trên thì $2-\sin^2 x \ge 1$ suy ra
$y=\sin + \sqrt{2-\sin^2x} \ge \sin x + 1 \ge 0.$
Vậy $\min y =0 \Leftrightarrow \sin x = -1.$

1. a) Do $\sin x \le 1$ nên ta có $0 \le \sqrt{5\sin x+4} \le \sqrt{5+4}=3$.
Suy ra $2 \le y \le 5.$
Do đó $\max y =5 \Leftrightarrow \sin x=1, \min y=2 \Leftrightarrow \sin x = -4/5.$
a) Do $0 \le \cos^2 2x \le 1\Rightarrow -4 \le -4\cos^2 2x \le 0$.
Suy ra $-1 \le y \le 3.$
Do đó $\max y =3 \Leftrightarrow \cos 2x=0, \min y=-1 \Leftrightarrow \cos 2x =1.$

Nếu $r=0$ thì dễ suy ra $x=0$ và lúc đó cũng có $x = r . \frac{\sqrt 5-1}{2}.$
Xét $r\ne 0$, đặt $t=\frac{x}{r},$ ta có
$x^2-xr-r^2=0$
$\Leftrightarrow \left ( \frac{x}{r} \right )^2-\frac{x}{r}-1=0$
$\Leftrightarrow t^2-t-1=0$
$\Leftrightarrow t=\frac{\pm\sqrt 5-1}{2}$
$\Leftrightarrow\frac{x}{r}=\frac{\pm\sqrt 5-1}{2}$
$\Rightarrow $ đcmp.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$
$ \begin{cases}y' (1) =0 \\ y''(1) <0 \end{cases} \quad (*)$.
Ta tính được
$y' =\frac{m^2+2mx +x^2-4}{(m+x)^2}$
$y''=\frac{8}{(m+x)^3}$
Như vậy
$(*) \Leftrightarrow \begin{cases}m^2+2m-3=0 \\ m+1 <0 \end{cases}\Leftrightarrow m=-3.$

Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/110028/bai-110026

Để hàm số đồng biến trên toàn trục số
$\Leftrightarrow y' \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb R.$
$\Leftrightarrow (a+1)x^2 +2(a+1)x +3a-2 \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb R.$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a + 1 \ne 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}a \ne -1 \\ (a+1)^2-(a+1)(3a-2) \le 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a <-1\\ a \ge 3/2 \end{matrix}} \right.$