Phương trình (H): x2a2−y2b2=1Phương trình chung của các đường tiệm cận d1,d2 là: x2a2−y2b2=0Gọi phương trình của △ là: αx+βy+γ=0 (α2+β2≠0) Giả sử β≠0, khi đó, do vế trái của phương trình (H) và phương trình các đường tiệm cận giống nhau nên- Hoành độ các giao điểm PvàQ của △ và (H) là nghiệm của phương trình dạng: ax2+bx+c=0- Hoành độ các giao điểm M và N của △ và các tiệm cận là nghiệm của phương trình dạng: ax2+bx+d=0Gọi I,J lần lượt là trung điểm của PQvàMN, thì ta có xi=xj=−b2a. Suy ra I ≡J. Vậy MN=PQ

Phương trình (H): x2a2−y2b2=1Phương trình chung của các đường tiệm cận d1,d2 là: x2a2−y2b2=0Gọi phương trình của △ là: αx+βy+γ=0 (α2+β2≠0) Giả sử β≠0, khi đó, do vế trái của phương trình (H) và phương trình các đường tiệm cận giống nhau nên- Hoành độ các giao điểm PvàQ của △ và (H) là nghiệm của phương trình dạng: ax2+bx+c=0- Hoành độ các giao điểm M và N của △ và các tiệm cận là nghiệm của phương trình dạng: ax2+bx+d=0Gọi I,J lần lượt là trung điểm của PQvàMN, thì ta có xi=xj=−b2a. Suy ra I ≡J. Vậy MP=NQP=NQQ

Đặt a = x, b = 2y và c = 3z, khi đó thì BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT:\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2}} + \frac{y^{2}}{x(y^{2}+x^{2}} + \frac{z^{2}}{y(z^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}Xét biểu thức: \Sigma\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2}} = \frac{1}{z} - \Sigma\frac{z}{x^{2}+z^{2}} = 3 - \Sigma\frac{z}{x^{2}+z^{2}} \geq 3 - \Sigma\frac{1}{2x} \geq \frac{3}{2}Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = 1, b = 2, c = 3

Đặt a = x, b = 2y và c = 3z, khi đó ta có$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ = 3 và BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT:$\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2})}$ + $\frac{y^{2}}{x(y^{2}+x^{2})}$ + $\frac{z^{2}}{y(z^{2}+y^{2})}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$Ta có: $\Sigma$$\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2})}$ = $\Sigma $$(\frac{1}{z}$ - $\frac{z}{x^{2}+z^{2}})$ $\geq$ 3 - $\Sigma$$\frac{1}{2x}$ = $\frac{3}{2}$Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = 1, b = 2, c = 3. Vậy ta có đpcm