Đặt $a=kx,b=ky,c=kz$ với $k=\sqrt[3]{abc}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$Khi đó BĐT đã cho tương đương với:$\frac{x^8+y^8+z^8}{x^3y^3z^3}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$\Leftrightarrow x^8+y^8+z^8\geq xy+yz+zx$Có: $x^8+1+1+1\geq 4x^2, y^8+1+1+1\geq 4y^2\Rightarrow x^8+y^8\geq 4(x^2+y^2)-6$Tương tự suy ra $x^8+y^8+z^8\geq 4(x^2+y^2+z^2)-9$$=(x^2+y^2+z^2)+3(x^2+y^2+z^2-3)\geq x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$Bài toán được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Đặt $a=kx,b=ky,c=kz$ với $k=\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc=k^3xyz\Rightarrow xyz=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$Khi đó BĐT đã cho tương đương với:$\frac{x^8+y^8+z^8}{x^3y^3z^3}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$\Leftrightarrow x^8+y^8+z^8\geq xy+yz+zx$Có: $x^8+1+1+1\geq 4x^2, y^8+1+1+1\geq 4y^2\Rightarrow x^8+y^8\geq 4(x^2+y^2)-6$Tương tự suy ra $x^8+y^8+z^8\geq 4(x^2+y^2+z^2)-9$$=(x^2+y^2+z^2)+3(x^2+y^2+z^2-3)\geq x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$Bài toán được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c