ĐKXĐ, ĐK có nghiệm
Đặt $a=\sqrt{x^{2}-1}$ có
$2x^{2}-3a=\sqrt{x^{4}-3a^{2}}\Leftrightarrow \left ( 2x^{2}-3a \right )^{2}=x^{4}-3a^{2}\Leftrightarrow x^{2}=2a$
$\Leftrightarrow a^{2}+1=2a\Leftrightarrow a=1\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Dễ thấy $ab+bc+ca\geq 3$
Quy đồng đc
$P=\frac{12+4\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ca}{8+4\left ( a+b+c \right )+2\left ( ab+bc+ca \right )+abc}$
$P\leq \frac{12+4\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ca}{8+4\left ( a+b+c \right )+\left ( ab+bc+ca \right )+3+1}=1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\left ( x+y \right )+\left ( x+\frac{1}{x} \right )=3+1=x^{2}+xy+\frac{y}{x}+1=\left ( x+y \right )\left ( x+\frac{1}{x} \right )$
nên $\left ( \left ( x+y \right )+\left ( x+\frac{1}{x} \right ) \right )^{2}=4\left ( x+y \right )\left ( x+\frac{1}{x} \right )$
$\Rightarrow x+y=x+\frac{1}{x}\Rightarrow y=\frac{1}{x}$.Thay vào hệ đc
$\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2 \\ x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2 \end{cases}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1$

Tam giác ABC có $A(2;-1)$ và pt phân giác góc B và C là: $x-2y+1=0$ và $x+y+3=0$. Viết pt đường thẳng BC

$x^{2}y-y=6\Rightarrow x^{2}=\frac{6}{y}+1$ (dễ thấy $y\neq 0$).Thay vào pt thứ nhất:
$y^{2}-2y-3-\frac{12}{y}+\frac{36}{y^{2}}=0$
Đặt $t=y+\frac{6}{y}$
Có $t^{2}-2t-15=0$
Giải tìm t rồi tìm y rồi tìm x

Dễ thấy $\frac{SAB'C'}{SABC}=\frac{AC'}{AB}\times \frac{AB'}{AC}\Rightarrow SAB'C'=4\times \frac{AC'}{AB}\times \frac{AB'}{AC}$
Tương tự với SA'BC' và SA'B'C
$SAB'C'\times SA'BC'\times SA'B'C$
$=\frac{4.AC'.BC'}{AB^{2}}.\frac{4.AB'.CB'}{AC^{2}}.\frac{4.BA'.CA'}{BC^{2}}\leq 1\times 1\times 1=1$
Vậy trong 3 tam giác AB'C', A'B'C, A'BC' có ít nhất 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1

Dễ thấy $\left ( x+y+z \right )^{2}=16$
Trường hợp 1: $\begin{cases}x+y+z=4 \\ xy+yz+zx=4 \end{cases}$
$\left ( y+z \right )^{2}\geq 4yz\Leftrightarrow \left ( 4-x \right )^{2}\geq 4\left ( 4-x\left ( y+z \right ) \right )$
$\Leftrightarrow \left ( 4-x \right )^{2}\geq 4\left ( 4-x\left ( 4-x \right ) \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{8}{3}$
Trường hợp 2: $\begin{cases}x+y+z=-4 \\ xy+yz+zx=4 \end{cases}$
Tương tự có $\frac{-8}{3}\leq x\leq 0$
Vậy $\frac{-8}{3}\leq x\leq\frac{8}{3}$. Tương tự với y,z

Thấy $\frac{1}{k}>\frac{1}{k+1}(k\in Z, k\geq 1)\Rightarrow \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}>0$
$P=\frac{1}{2}-\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006} \right )$
$P<\frac{1}{2}-\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right)=\frac{1}{2}-\frac{7}{60}<\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$