câu 1 là n(3n+1) thôi, k có bình phương nhé
thử với n=1,ta thấy 1.(3.1+1)=1(1+1)2 hay 4=4 (đúng)
giả giả sử đẳng thứ đúng với n=k, tức là 1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)2
ta cần chứng minh nó cũng đúng với n=k+1,tức là
1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k+2)2 (∗)
thật vậy
(∗)⇔1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k2+4k+4)
⇔1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k2+2k+1+2k+3)
⇔1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k2+2k+1)+(k+1)(2k+3)
hay 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k+1)2+(k+1)(2k+3)
⇔1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)2+(k+1)2+(k+1)(2k+3)
đặt (k+1) làm nhân tử chung
⇔1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)2+(k+1)(2k+3+k+1)
1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)
mà 1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)2
vậy đẳng thức cũng đúng với n=k+1
câu 2 chưa làm ngay được ,trc tiên phải chứng minh đẳng thức này :
1+2+3+...+n=n.(n+1)2với n=1, ta có
1=1.22 (đúng)
giả sử đẳng thức đúng với n=k, tức là
1+2+3+...+k=k.(k+1)2ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng với n=k+1, hay
1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)2thật vậy
1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)2=k.(k+1)+2(k+1)2hay
1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)2+2(k+1)2⇔1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)mà
1+2+3+...+k=k.(k+1)2vậy đẳng thức đúng với n=k+1
đẳng thức được chứng minh( lát sẽ xài tới nó)
quay lại đẳng thức đầu
với n=1, ta có
13=12 (đúng)
giả sử đẳng thức đúng với n=k,tức là
13+23+...+k3=(1+2+3+...+k)2ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng khi n=k+1,tức là
13+23+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2khai triển vế phải ra là
(1+2+3+...+k)2+2(k+1)(1+2+3+...+k)+(k+1)2mà
1+2+3+...+k=k.(k+1)2(chứng minh ở đầu bài )
suy ra
2(k+1)(1+2+3+...+k)=2k(k+1)(k+1)2=k3+2k2+kvậy
VP=(1+2+3+...+k)2+k3+2k2+k+(k+1)2=(1+2+3+...+k)2+k3+2k2+k+k2+2k+1=(1+2+3+...+k)2+(k+1)3mà
(1+2+3+...+k)2=13+23+...+k3vậy đẳng thức đúng với n=k+1