$\int\limits_{}^{}(cotg^5x) dx$ =  $\int\limits_{}^{}\left(cotg^3x.(cotg^2x + 1)\right)dx-\int\limits_{}^{}(cotgx.(cotg^2x +1)dx + \int\limits_{}^{}cotgx .dx$

$\int\limits_{}^{}(cotg^5x) dx$ = $\int\limits_{}^{}-cotg^3x .d(cotgx) + \int\limits_{}^{}cotgx. d(cotgx) + \int\limits_{}^{}\frac{cosxdx}{sinx}$

$\int\limits_{}^{b}(cotg^5x)dx = \int\limits_{}^{}-cotg^3x.d(cotgx) + \int\limits_{a}^{b}cotgx. d ( cotgx) +\int\limits_{}^{}\frac{d(sinx)}{sinx} $

$ = \frac{- cotg^4x}{4}- \frac{cotg^2x}{2}-ln\left| {sinx} \right|+ C$