tìm GTNN ạ

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn :$x\neq y\neq z$ . Tìm GTNN của biểu thức:$P=(x^2+y^2+z^2).(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})$

Bất đẳng thức Cô-si

tìm GTNN ạ

Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn :$x\neq y\neq z$ . Tìm GTNN của biểu thức:$P=(x^2+y^2+z^2).(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})$

Bất đẳng thức Cô-si

Vì $C\in AC\Rightarrow C(9-2c;c)\Rightarrow \overrightarrow{CM}(2c-9;4-c);\overrightarrow{CN}(2c-7;8-c)$Vì DC vuông góc với BC nên $\overrightarrow{CN}.\overrightarrow{CM}=0$ giải tìm được $c=5$ thỏa mãn $\Rightarrow C(-1;5)$+) Biết $C(-1;5)\Rightarrow BC: x+y-4=0$ và $DC: x-y+6=0$+) Từ pt DC và AC thì tìm được $cos(AC,DC)=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow cos\widehat{ACD}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow AC=\sqrt{10}.DC$+) Đặt $DC=x\Rightarrow AC=\sqrt{10}.x\Rightarrow BC=AD=3x$+)Diện tích ABCD bằng 6 => $DC.AD=6\Rightarrow 3x^2=6\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$+) $A\in AC\Rightarrow A(9-2a;a)\Rightarrow AC=\sqrt{(2a-10)^2+(5-a)^2}=\sqrt{10}.\sqrt{2}$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a =7\Rightarrow A(-5;7)\\a=3\Rightarrow A(3;3)\end{matrix}} \right.$Tìm đc $A$ rồi thì tìm đc phương trình $AB\Rightarrow$tìm đc tọa độ $B,D$Em lười gõ , chị thông cảm ạ ^^

Vì $C\in AC\Rightarrow C(9-2c;c)\Rightarrow \overrightarrow{CM}(2c-9;4-c);\overrightarrow{CN}(2c-7;8-c)$Vì DC vuông góc với BC nên $\overrightarrow{CN}.\overrightarrow{CM}=0$ giải tìm được $c=5$ thỏa mãn $\Rightarrow C(-1;5)$+) Biết $C(-1;5)\Rightarrow BC: x+y-4=0$ và $DC: x-y+6=0$+) Từ pt DC và AC thì tìm được $cos(AC,DC)=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow cos\widehat{ACD}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow AC=\sqrt{10}.DC$+) Đặt $DC=x\Rightarrow AC=\sqrt{10}.x\Rightarrow BC=AD=3x$+)Diện tích ABCD bằng 6 => $DC.AD=6\Rightarrow 3x^2=6\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$+) $A\in AC\Rightarrow A(9-2a;a)\Rightarrow AC=\sqrt{(2a-10)^2+(5-a)^2}=\sqrt{10}.\sqrt{2}$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a =7\Rightarrow A(-5;7)\\a=3\Rightarrow A(3;3)\end{matrix}} \right.$Tìm đc $A$ rồi thì tìm đc phương trình $AB\Rightarrow$tìm đc tọa độ $B,D$E lười gõ , c thông cảm ạ ^^

$sin^6x+cos^6x=(sin^2x+cos^2x)^3-3sin^2x.cos^2x(sin^2x+cos^2x)$=$1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x=1-\frac{3}{4}.\frac{(1-cos4x)}{2}$$=1-\frac{3}{8}(1-cos4x)=1-\frac{3}{8}+\frac{3}{8}cos4x=\frac{5+3cos4x}{8}$

$y=sin^6x+cos^6x=(sin^2x+cos^2x)^3-3sin^2x.cos^2x(sin^2x+cos^2x)$=$1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x=1-\frac{3}{4}.\frac{(1-cos4x)}{2}$$=1-\frac{3}{8}(1-cos4x)=1-\frac{3}{8}+\frac{3}{8}cos4x=\frac{5+3cos4x}{8}$+)Vì $cos4x\geq -1\Rightarrow y\geq \frac{5+3.(-1)}{8}=1/4$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow cos4x=-1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$($k\in Z)$+)$cos4x\leq 1\Rightarrow y\leq \frac{5+3}{8}=1$dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow cos4x=1\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}(k\in Z)$Vậy...

a)pt$\Leftrightarrow \begin{cases}1-\left| x{} \right|\geq 0\\ x^2-1=1-2\left| {x} \right|+x^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left| {x} \right| \leq 1\\ 2\left| {x} \right| =2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-1\leq x\leq 1 \\ \left[ \begin{matrix} x=-1\\ x=1\end{matrix}{} \right. \end{cases}\Leftrightarrow \left[ $$\begin{matrix}x=1\\ x=-1\end{matrix}$$ {} \right.$Vậy pt có 2 nghiệm

a)pt$\Leftrightarrow \begin{cases}1-\left| x{} \right|\geq 0\\ (x^2-1)^2=1-2\left| {x} \right|+x^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left| {x} \right| \leq 1\\ x^4-3x^2+2\left| {x} \right| =0(*)\end{cases}$Đặt$\left| {x} \right|=t(0\leq t\leq 1)\Rightarrow (*)$trở thành:$t^4-3t^2+2t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=0\\t=1 hoặc t=2\end{matrix}{} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=1\\ t=0 \end{matrix}{} \right..$ ($t=2$bị loại do $0\leq t\leq 1)$+)Với$t=0\Leftrightarrow x=0$+)$t=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=1\\ x=-1\end{matrix}{} \right.$Vậy pt có 3 nghiệm

2) hệ đã cho $\Leftrightarrow \begin{cases} (a+b) +c=4 \\ ab +c(a+b)= 5\end{cases}(*)$Đặt $\begin{cases}a+b=S \\ ab= P\end{cases} ( S^2\geq 4P)\Rightarrow (*)$ trở thành :$\begin{cases}S+c=4 \\ P+Sc=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=4-c\\ P+c(4-c)=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=4-c \\ P=c^2-4c+5\end{cases}$Vì $S^2\geq 4P$ nên $(4-c)^2\geq 4(c^2-4c+5)\Leftrightarrow 3c^2-8c+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq c\leq 2$Do vai trò của $a,b,c$ bình đẳng nên $\frac{2}{3}\leq a,b,c\leq 2$Bài 4 tương tự

2) Cách 2:hệ đã cho $\Leftrightarrow \begin{cases} (a+b) +c=4 \\ ab +c(a+b)= 5\end{cases}(*)$Đặt $\begin{cases}a+b=S \\ ab= P\end{cases} ( S^2\geq 4P)\Rightarrow (*)$ trở thành :$\begin{cases}S+c=4 \\ P+Sc=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=4-c\\ P+c(4-c)=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=4-c \\ P=c^2-4c+5\end{cases}$Vì $S^2\geq 4P$ nên $(4-c)^2\geq 4(c^2-4c+5)\Leftrightarrow 3c^2-8c+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq c\leq 2$Do vai trò của $a,b,c$ bình đẳng nên $\frac{2}{3}\leq a,b,c\leq 2$Bài 4 tương tự

2)pt$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(3cosx+cos3x)cos3x+\frac{1}{4}(3sinx-sin3x)sin3x=cos^34x$$\Leftrightarrow 3(cosx.cos3x+sinx.sin3x)+cos^23x-sin^23x=4cos^34x$$\Leftrightarrow 3cos2x+cos6x=4cos^34x$$\Leftrightarrow 3cos2x+4cos^32x-3cos2x=4cos^34x$$\Leftrightarrow cos^32x=cos^34x\Leftrightarrow cos2x=cos4x\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=4x+k2\pi\\ 2x=-4x+k2\pi\end{matrix}{} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-k\pi\\ x=\frac{k\pi}{3} \end{matrix}{} \right.(k\in Z)$

1)pt$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(3cosx+cos3x)cos3x+\frac{1}{4}(3sinx-sin3x)sin3x=cos^34x$$\Leftrightarrow 3(cosx.cos3x+sinx.sin3x)+cos^23x-sin^23x=4cos^34x$$\Leftrightarrow 3cos2x+cos6x=4cos^34x$$\Leftrightarrow 3cos2x+4cos^32x-3cos2x=4cos^34x$$\Leftrightarrow cos^32x=cos^34x\Leftrightarrow cos2x=cos4x\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=4x+k2\pi\\ 2x=-4x+k2\pi\end{matrix}{} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-k\pi\\ x=\frac{k\pi}{3} \end{matrix}{} \right.(k\in Z)$

ĐK:$\begin{cases}3x-2y\geq0 ;3x+\sqrt{3x-2y} \geq 0\\ y\neq 0\end{cases}$Có pt(1)$\Leftrightarrow 6y^{2}+y\sqrt{3x-2y}-(3x-2y)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}3y=\sqrt{3x-2y} (*)\\-2y=\sqrt{3x-2y} (**)\end{matrix}{} \right.$+)Thay (*) vào pt(2) ta đc:$2\sqrt{3(x+y)}=6(x+y)-4 \Leftrightarrow \begin{cases}x+y\geq \frac{2}{3} \\ 9(x+y)^2-15(x+y)+4=0 \end{cases}$$\Leftrightarrow x+y=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4-3y}{3}$Mặt khác ta có (*)$\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq 0\\ x=\frac{9y^2+2y}{3} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq 0\\ \frac{4-3y}{3}=\frac{9y^2+2y}{3}\end{cases}$$\begin{cases}y\geq 0\\ \left[ \begin{matrix} y=\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\\ y=\frac{-1-\sqrt{5}}{3} \end{matrix}{} \right. \end{cases}\Leftrightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\Rightarrow x=\frac{5-\sqrt{5}}{3}$(không thỏa mãn)+)Thay (**) vào pt(2) đc:$2\sqrt{3x-2y}=6(x+y)-4\Leftrightarrow -4y=6(x+y)-4\Leftrightarrow x=\frac{2-5y}{3}$Lại có (**)$\Leftrightarrow \begin{cases}y\leq 0\\ x=\frac{4y^2+2y}{3} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y\leq 0\\ \left[ \begin{matrix} y=-2\\ y=1/4 \end{matrix}{} \right.\end{cases}\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn)Vậy hệ có 1 nghiệm

ĐK:$\begin{cases}3x-2y\geq0 ;3x+\sqrt{3x-2y} \geq 0\\ y\neq 0\end{cases}$Có pt(1)$\Leftrightarrow 6y^{2}+y\sqrt{3x-2y}-(3x-2y)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}3y=\sqrt{3x-2y} (*)\\-2y=\sqrt{3x-2y} (**)\end{matrix}{} \right.$+)Thay (*) vào pt(2) ta đc:$2\sqrt{3(x+y)}=6(x+y)-4 \Leftrightarrow \begin{cases}x+y\geq \frac{2}{3} \\ 9(x+y)^2-15(x+y)+4=0 \end{cases}$$\Leftrightarrow x+y=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4-3y}{3}$Mặt khác ta có (*)$\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq 0\\ x=\frac{9y^2+2y}{3} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq 0\\ \frac{4-3y}{3}=\frac{9y^2+2y}{3}\end{cases}$$\begin{cases}y\geq 0\\ \left[ \begin{matrix} y=-1\\ y=4/9 \end{matrix}{} \right. \end{cases}\Leftrightarrow y=4/9\Rightarrow x=8/9$(thỏa mãn)+)Thay (**) vào pt(2) đc:$2\sqrt{3x-2y}=6(x+y)-4\Leftrightarrow -4y=6(x+y)-4\Leftrightarrow x=\frac{2-5y}{3}$Lại có (**)$\Leftrightarrow $$\begin{cases}y\leq 0\\ x=\frac{4y^2+2y}{3} \end{cases}$$ \Leftrightarrow $$\begin{cases}y\leq 0\\ \left[ \begin{matrix} y=-2\\ y=1/4 \end{matrix}{} \right.\end{cases}$$ \Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn)Vậy hệ có 2 nghiệm