Đề sai nhé bạn, phải là $\sqrt{28}$ chứ k phải $\sqrt{82}$
Bài mình dùng bđt Minkowski, nếu bạn k biết thì tra gg nhé :))
Áp dụng bđt Minkowski, Cauchy, Bunyakovsky ta có:
$\sqrt{x^2+\frac{1}{x}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})^2}$
$\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{9^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{27}{x+y+z}}$
$=\sqrt{[(x+y+z)^2+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}]+\frac{25}{x+y+z}}\geq \sqrt{28}$ (do $x+y+z\leq 1$)
Dấu = có khi x=y=z=1/3