$1)$ Tìm cặp $(x;y)$ thỏa mãn $2x^{2} - xy - y^{2} + 3x - 5 = 0$$2)$ Trên mặt phẳng cho $2015$ đường tròn sao cho $3$ đường tròn bất kỳ trong số đó có điểm chung và không có $2$ đường nào tiếp xúc với nhau. Chứng minh khi đó tất cả các đường tròn đều có điểm chung.
$3)$ Cho nửa đường $( O )$, đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thuộc nửa đường tròn $( O )$ khác $A, B$. Các tiếp tuyến của đường tròn $( O )$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $D$. Vẽ $CH$ và $CK$ lần lượt vuông góc với $AB$ và $AD$.
$a)$ Gọi $I$ là trung điểm của $HK$. Chứng minh rằng 3 điểm $O, I, D$ thẳng hàng.
$b)$ Nối $B, D$ cắt $CH$ tại $E$. Tính tỷ số $\frac{CE}{CH}$
$c)$ Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt nửa đường tròn $( O )$ tại $M, N$. Xác định vị trí của điểm $C$ để diện tích $OMCN$ đạt $max$