Hàm số xác định $\forall X \in R$ khi
 $\begin{array}{l}
{\log _3}({X^2} - 2X + 3m) > 0,\forall X \in R\\
 \Leftrightarrow {X^2} - 2X + 3m > 1,\forall X \in R \Leftrightarrow {X^2} - 2X + 3m - 1 > ,\forall X \in R
\end{array}$
Vì $a = 1 > 0$nên ${\Delta ^/} < 0 \Leftrightarrow 1 - (3m - 1) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}$ với $m > \frac{2}{3},$,
 hàm số xác định$\forall X \in R$

Viết lại $(1) \Leftrightarrow Q(x)=(x^2+1)[(1-\frac{m^2}{9})x^2+(m+3)x+\frac{9}{4}]$
Gọi $f(x)=(1-\frac{m^2}{9})x^2+(m+3)x+\frac{9}{4}$
Để ý: $x^2+1>0 \forall x \in R$ nên $Q(x) \geq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow f(x) \geq 0, \forall x \in R   (*)$
* Trường hợp 1: $1-\frac{m^2}{9}=0 \Leftrightarrow m=\pm 3$
+ Với $m=-3, f(x)=\frac{9}{4}>0, \forall x \in R \Rightarrow m=-3$ là một giá trị phải tìm   $(2)$
+ Với $m=3, f(x)=6x+\frac{9}{4} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{3}{8} \Rightarrow m=3$ không thích hợp   $(3)$
* Trường hợp 2: $1-\frac{m^2}{9} \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 3$. Khi đó $f(x) \geq 0, \forall x \in R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a>0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-\frac{m^2}{9}>0 \\ (m+3)^2-9(1-\frac{m^2}{9}) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|<3 \\ 2m(m+3) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow -3<m \leq 0   (4)$
Từ $(2),(3),(4)$ suy ra tập hợp các gái trị phải tìm của $m$ là $-3 \leq m \leq 0$

Viết lại $\cos 2x+m\cos x+4 \geq 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x+m\cos x+3 \geq 0$
Đặt $t=\cos x, |t| \leq 1$, Bất phương trình $(1)$ trở thành $2t^2+mt+3 \geq 0$
Bất phương trình $(1)$ nghiệm $\forall x \in R \Leftrightarrow f(t)=2t^2+mt+3 \geq 0, \forall t \in [-1;1]$
Điều đó có khi và chỉ khi $m$ nghiệm một trong hai trường hợp sau
* Trường hợp 1: $\Delta \leq 0 \Leftrightarrow m^2-24 \leq 0 \Leftrightarrow |m| \leq \sqrt{24}     (2)$
* Trường hợp 2: 
    $\begin{cases}\Delta>0 \\ f(\pm 1) \geq 0 \\  (\frac{S}{2}+1)(\frac{S}{2}-1)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|>\sqrt{24} \\ 5\pm m \geq 0 \\  S^2-4>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|>\sqrt{24} \\ |m|\leq 5 \\  m^2-16>0 \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{24} <|m| \leq 5   (3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta có: $|m| \leq 5$ là tập hợp các giá trị phải tìm của $m$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện xác định: $\begin{cases}  - x^{2} +4x+21 \geq 0  \\   - x^{2} +3x +10 \geq 0  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3 \leq x \leq 7   \\  -2 \leq x \leq 5   \end{cases} $
$\Leftrightarrow -2 \leq x \leq 5 \Rightarrow $ tập xác định của hàm số là $D=[-2;5]$
Do $- x^{2} +4x+21-  \left(  - x^{2} +3x +10  \right) = x+11>0 $ trên D nên $y>0$
$y= \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) }- \sqrt{ \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }>0$
$\Rightarrow y^{2}=x^{2} – x^{2} +4x+21+\left(  - x^{2} +3x +10  \right) $
             $-2 \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }$
             $= \left( - x^{2} +2x+15   \right) + \left(- x^{2} +5x+14    \right) $
             $- 2 \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }+2$
             $= [ \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 5-x   \right) }-  \sqrt{ \left( x+2   \right) \left( 7-x   \right) }]^{2}+2 \geq 2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $ \sqrt{ 2}$ đạt được khi và chỉ khi
      $\sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 5-x   \right) }=  \sqrt{ \left( x+2   \right) \left( 7-x   \right) }$
$\Leftrightarrow$$      - x^{2} +2x+15                = - x^{2} +5x+14 \Leftrightarrow 3x=1 \Leftrightarrow x= \frac{ 1}{3}$

- Nếu $a < 0$ thì phương trình vô nghiệm
- Nếu \(a \ge 0\) thì với điều kiện\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
1 - x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le 0 \le 1 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow 1 - {x^2} \ge 0\)
Phương trình\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {1 - x} } \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  = {a^2} \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}}  = {a^2} - 2\)
+ Nếu \({a^2} - 2 < 0\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \({a^2} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = {\left( {\frac{{{a^2} - 2}}{2}} \right)^2}\)( thỏa mãn điều kiện \(1 - {x^2} \ge 0\))
\( \Leftrightarrow {x^2} = 1 - {\left( {\frac{{{a^2} - 2}}{2}} \right)^2} = \frac{{ - {a^4} + 4{a^2}}}{4} = \frac{{ - {a^2}\left( {{a^2} - 4} \right)}}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{2}\sqrt { - {a^2}\left( {{a^2} - 4} \right)} \) với điều kiện \( - {a^2}\left( {{a^2} - 4} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 0 \le {a^2} \le 4\) do điều kiện đang xét  \( \Leftrightarrow 2 \le {a^2} \le 4 \Leftrightarrow \sqrt 2  \le |a| \le 2 \Leftrightarrow \sqrt 2  \le a \le 2\)
Tóm lại:
- Nếu  \(a < \sqrt 2\)   hoặc \(a > 2\) thì phương trình vô nghiệm
- Nếu  \(\sqrt 2  \le a \le a\) thì phương trình có $2$ nghiệm  \(x =  \pm \frac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - {a^4}}\)

Điều kiện:  $-1\leq x\leq 1$
*   Nếu $ -1\leq x< 0$  thì VT$ <0<$VP
*   Nếu $0\leq x\leq 1$. Đặt  $x=\cos \varphi      (0\leq \varphi<\frac{\pi}{2})$
PT   $\Leftrightarrow   \sqrt{1+\sin \varphi}(2\sqrt{2}\cos^3 \frac{\varphi}{2}-2\sqrt{2}\sin^3\frac{\varphi}{2})=2+\sin\varphi$
        $\Leftrightarrow     2\sqrt{2}(\sin \frac{\varphi}{2}+\cos \frac{\varphi}{2})(\cos \frac{\varphi}{2}-\sin \frac{\varphi}{2})(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi$
        $\Leftrightarrow     2\sqrt{2}\cos \varphi(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi   \Leftrightarrow \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}$( do $\cos\varphi\geq 0$)
Vậy  $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Đặt :$\begin{array}{l}
t = \cos X, - 1 \le t \le 1\\
 \Rightarrow c{\rm{os}}2X + m.\cos X + 4 = 2{\cos ^2}X - 1 + m.\cos X + 4 = 2{t^2} + mt + 3
\end{array}$
Hàm số $(1)$ xác định
$\begin{array}{l}
\forall X \in R\\
 \Leftrightarrow 2{t^2} + mt + 3 > 0\\
\forall t \in \left[ { - 1,1} \right]
\end{array}$
Đặt
$f(t) > 0\forall t \in \left[ { - 1,1} \right]$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta  < 0(2)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
 - 1 < 1 < {t_1} < {t_2}\\
{t_1} \le {t_2} <  - 1 < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.(3)
\end{array} \right.$
Ta có:
$\Delta  = {m^2} - 24;f(1) = m + 5;f( - 1) =  - m + 5$
(HV-18)
$\begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow  - 2\sqrt 6  < m < 2\sqrt 6 \\
(3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left\{ {m \le  - 2\sqrt 6 } \right. \vee m \ge 2\sqrt 6  \vee m \ge 2\sqrt 6 \\
\left\{ \begin{array}{l}
f(1) > 0\\
\frac{s}{2} - 1 > 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) > 0\\
\frac{s}{2} + 1 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(1) > 0\\
\frac{s}{2} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 5 > 0\\
 - \frac{m}{4} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 < m <  - 4\\
\left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) > 0\\
\frac{s}{2} + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - m + 5 > 0\\
 - \frac{m}{4} + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m < 5\\
suy\,\,ra\,\,\,(3) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 5 < m \le  - 2\sqrt 6 \\
2\sqrt 6  \le m \le 5
\end{array} \right.(5)
\end{array}$
Hợp các tập nghiệm ở $(4)$và $(5)$ ta có
$ - 5 < m < 5$.  Vậy ${\rm{D =  ( - 5, 5)}}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Trên các tia $AA', AB, AD$ lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho $AM=m, AN=n, AP=p$
1. Tìm sự liên hệ giữa m, n, p sao cho mặt phẳng (MNP) đi qua C' của hình lập phương
2. Trong trường hợp mặt phẳng (MNP) luôn đi qua C, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết