Câu ... : Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\ 125y^{5}-125y^{3}+6\sqrt{15}=0 \end{cases}$ $(x,y \in R)$
Cách 1 : Sử dụng hàm số $Hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}=1-y^{2} (1)\\ 125^{3}(y^{2}-1)=-6\sqrt{15} (2)\end{cases}$
$(1)\rightarrow y^{2}-1 \leq 0$
Kết hợp với $(2) : \begin{cases}y^{3}>0 \\ y^{2}-1<0 \end{cases}$ $\Rightarrow 0<y<1$
Xét : $f(y)=125y^{5}-125y^{3}+6\sqrt{15} , y \in (0;1)$
$f'(y)=125y^{2}(5y^{2}-3)$
$f'(y)=0 \Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{15}}{5}$
Ta lập bảng biến thiên :
$hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+y^{2}=1 \\ y= \frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x= \pm \frac{\sqrt{10}}{5}\\ y=\frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$Cách 2 : Áp dụng bđt $Hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}=1-y^{2} (1) \\ 125y^{3}(y^{2}-1)=-6\sqrt{15} (2) \end{cases}$
Từ $(1) : y^{2}-1 \leq 0$
Từ $(2) : y^{3} >0 \Rightarrow y>0$
$(2) \Leftrightarrow 125y^{5}+6\sqrt{15}=125y^{3}$
Ta có :
$3VT=125y^{5}+125y^{5}+125y^{5}+9\sqrt{15}+9\sqrt{15}\geq 5\sqrt[5]{5^{10}.3^{5}.y^{15}}=3.125y^{3}=3VP$
Nên $(2) \Leftrightarrow 125y^{5}=9\sqrt{15} \Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{15}}{5}$
$Hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+y^{2}=1= \\ y= \frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\pm \frac{\sqrt{10}}{5}\\ y=\frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$
P/s : K vẽ đv bbt :((
CÓ gì k hiểu mn có thể liên hệ ts sđt : 1900100 có