Cách 2 : Với mỗi $y,z$ cố định $\in [0;1]$ , xét hàm số biến x : $F(x)=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+ \frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z) , 0 \leq x \leq 1$Có : $F'(x)= \frac{1}{y+z+1}-\frac{y}{(z+x+1)^{2}}- \frac{z}{(x+y+1)^{2}}-(1-y)(1-z)$$=> F''(x)= \frac{2y}{(z+x+1)^{2}}+ \frac{2z}{(x+y+1)^{2}} \geq 0 $ (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi $o \leq x\leq 1$=> 3 TH : TH 1 : Nếu $F'(x) >=0 \forall 0\leq x \leq 1$ . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên $0 \leq x \leq 1$ , $=> \forall 0\leq x \leq 1$ , ta có : $F(x) \leq F(1) = \frac{1}{y+z+1}+ \frac{y}{z+1+1}+ \frac{z}{1+y+1} \leq \frac{1+y+z}{y+z+1}=1 ( do y \leq 1; z \leq 1)$TH2 : Nếu $F'(x) \leq 0 \forall 0\leq x\leq 1$ Khi đó F(x) là hàm nb trên $0= Ta có : $F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}$Do : $y^{2}z^{2} \leq yz $ và $y,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]$TH3 : Nếu F'(x) có dấu thay đổi trên $[0;1]$ . Do $F'(x) $ là hàm đb trên $[0;1]$ Và : $F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1$ALL=> luôn có : $P \leq 1$Vậy Max P = 1
Cách 2 : Với mỗi $y,z$ cố định $\in [0;1]$ , xét hàm số biến x : $F(x)=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+ \frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z) , 0 \leq x \leq 1$Có : $F'(x)= \frac{1}{y+z+1}-\frac{y}{(z+x+1)^{2}}- \frac{z}{(x+y+1)^{2}}-(1-y)(1-z)$$=> F''(x)= \frac{2y}{(z+x+1)^{2}}+ \frac{2z}{(x+y+1)^{2}} \geq 0 $ (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi $o \leq x\leq 1$=> 3 TH : TH 1 : Nếu $F'(x) >=0 \forall 0\leq x \leq 1$ . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên $0 \leq x \leq 1$ , $=> \forall 0\leq x \leq 1$ , ta có : $F(x) \leq F(1) = \frac{1}{y+z+1}+ \frac{y}{z+1+1}+ \frac{z}{1+y+1} \leq \frac{1+y+z}{y+z+1}=1 ( do y \leq 1; z \leq 1)$TH2 : Nếu $F'(x) \leq 0 \forall 0\leq x\leq 1$ Khi đó F(x) là hàm nb trên $0= Ta có : $F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}$Do : $y^{2}z^{2} \leq yz $ và $y,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]$TH3 : Nếu F'(x) có dấu thay đổi trên $[0;1]$ . Do $F'(x) $ là hàm đb trên $[0;1]$ Và : $F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1$ALL=> luôn có : $P \leq 1$Vậy Max P = 1Bài toán tổng quát : Cho $0\leq a_{i} \leq 1 , i=1,2,...,n$ . Chứng minh rằng : $\frac{a_{1}}{S-a_{1}+1}+ \frac{a_{2}}{S-a_{2}+1}+...+ \frac{a_{n}}{S-a_{n}+1}+ (1-a_{1})(1-a_{2})...(1-a_{n}) \leq 1$Với : $S=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$