Nếu : $1+9xyz-x-y-z \leq 0 => P \leq 0$
Nếu : $1+9xyz-x-y-z >0$ . Áp dụng bđt C-S : 
 $(x+y+z=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq  3\sqrt{xyz}.3\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}$
$=> x+y+z \geq  9xyz => 1 +x+y+z \geq  1+9xyz$
$\Rightarrow  0<1+9xyz-x-y-z \leq 1$
$\Rightarrow  (1+9xyz-x-y-z)( \frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}) \leq  \sum_{cyc}\frac{1}{1-xy}$
Có : $\sum_{cyc} \frac{1}{1-xy}=3+\sum_{cyc}\frac{xy}{1-xy}$
Từ gt : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, có :$
 $\frac{xy}{1-xy} \leq  \frac{2xy}{2-(x^{2}+y^{2})} \leq  1/2 - \frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+z^{2})+(y^{2}+z^{2})} (1)$
 ( do : $(x+y)^{2} \geq  4xy)$
Ta lại có : 
 $\frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+y^{2})+(y^{2}+z^{2})} \leq  \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2}}        (2)$
Từ (1) và (2) : suy ra : 
 $\frac{xy}{1-xy} \leq  1/2(\frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2}})$
Tương tự : .... 
All $=>  \sum_{cyc}\frac{xy}{1-xy} \leq  3 + 3/2 = 9/2$
=>$Max = 9/2<=> x=y=z = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 

Cách 2 : " Phi lượng giác hóa " 
 Dựa vào : $xy+yz+zx=1$ , ta có : 
 $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}= \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}= \sqrt{\frac{x}{x+y}}. \sqrt{\frac{x}{x+y}}$
Áp dụng bđt AM-GM : $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \leq  \frac{1}{2}( \frac{x}{x+y}+ \frac{x}{x+z})$
Tương tự : .... 
Cộng từng vế $=> VT =< 3/2$
=> Max = 3/2 
Dấu = xảy ra $<=> x=y=z =\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cách 1 : Lượng giác hóa 
 Đặt : $x=tan \frac{A}{2},y=tan \frac{B}{2},z=tan \frac{C}{2}với A,B,C \in  (0;\frac{\pi }{2})$
Vì : $xy+yz+zx=1=> tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}.tan\frac{A}{2}=1$
$=> tan\frac{A}{2}=cot(\frac{B}{2}+\frac{C}{2})=> A+B+C=180^{o}=>A,B,C là ba góc của tam giác ABC$
Có  : $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}= \frac{tan\frac{A}{2}}{\sqrt{1+tan^{2}\frac{A}{2}}}=tan\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}=sin\frac{A}{2}$
Tương tự : ....
$=>VT=sinA/2+sinB/2+sinC/2 =<3/2$   (đpcm)
Dấu = xảy ra $<=>A=B=C=60^{o}<=> x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$