$A=1+(1+1).2+(2+1).3+...+(n-1+1).n$
$\Leftrightarrow A=1+1.2+2+2.3+3+...+(n-1).n+n$
$\Leftrightarrow A=(1+2+3+...+n)+[1.2+2.3+3.4+...+(n-1).n]$
Đặt $B=1.2+2.3+3.4+...(n-1).n$
$\Leftrightarrow 3B=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+....+(n-1)n[(n+1)-(n-2)]$
$\Leftrightarrow 3B=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+....+(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n$
$\Leftrightarrow 3B=(n-1)n(n+1)\Leftrightarrow B=\frac{(n-1)n(n+1)}{3}$
Do đó $A=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n(n+1)}{3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$