Giải như sau:

Giả sử $a$ là số lớn nhất trong 3 số $a,b,c$ ,thế thì $a$ nhỏ hơn 3 và không nhỏ hơn 1

ta thấy $9=(42a-48)+(42b-\frac{69}{2})+(42c-\frac{69}{2})$

Thay và BĐT ban đầu ta thấy tương đương

$(\frac{8}{b}-10b^2+42b-\frac{69}{2})+(\frac{8}{c}-10c^2+42c-\frac{69}{2})\ge 10a^2-\frac{8}{a}-42a+48\iff \frac{(16-5b)(2b-1{)}^2}{b}+\frac{(16-52)(2c-1{)}^2}{c}\ge \frac{4(5a-1)(a-2{)}^2}{a}$

Áp dụng BCS ,ta có:

$VT$ $\ge \frac{(2b-1+2c-1{)}^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}=\frac{4(a-2{)}^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$

Lúc này ta chỉ cần chứng minh 

$\frac{a}{5a-1}\ge \frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}$

Mà $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\le \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}=\frac{3-a}{16-5a}\le \frac{a}{5a-1}\iff \frac{1}{(5a-1)(16-5a)}>0$

ĐÚng theo giả thiết,từ đây ta suy ra đ.p.c.m

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1/2 ,c=2$ cùng hoán vị