Chọn hệ tọa độ Axyz với B, D, A' theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz ta được:
           $A(0; 0; 0); B(n; 0; 0); D(0; p; 0); A'(0; 0; m); C'(1; 1; 1)$
1. Phương trình mặt phẳng (MNP) được cho bởi:
           $(MNP): \frac{x}{n}+\frac{y}{p}+\frac{z}{m}=1   $
Để $C'\in (MNP)$ điều kiện là: $\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{m}=1   $ (*)
2. Thể tích tứ diện AMNP được xác định bởi:
           $V_{AMNP}=\frac{1}{6}AM.AN.AP=\frac{1}{6}mnp  $
Từ (*) sử dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
           $I=\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{m}\geq  \frac{3}{\sqrt[3]{mnp} } \Leftrightarrow  mnp\geq  27$
Tức là   $(V_{AMNP})_{Min}=\frac{27}{6} $ đạt được khi :
           $\frac{1}{m}=\frac{1}{n}=\frac{1}{p}=\frac{1}{3}  \Leftrightarrow  m=n=p=3  $

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi $R=d(I, (d))$, ta đi xác định R. Lấy điểm $M(2, 0, 1)\in (d) \rightarrow  \overrightarrow{MI}(1; -2; 2) $
+) Gọi $ \overrightarrow{a}$ là một vtcp của (d) ta có:
            $\overrightarrow{a}  \left ( \left| \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right.\left. \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right| , \left| \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right.\left. \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right|, \left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.\left. \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right| \right )= \overrightarrow{a}(0; -1; 1) $
+) Khi đó khoảng cách từ I tới (d) được cho bởi $d(I; (d))=\frac{|[\overrightarrow{MI} , \overrightarrow{a}] |}{|\overrightarrow{a} |}=1 $
Vậy phương trình mặt cầu (S) được cho bởi:
        $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=1$

Chứng minh rằng nếu $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$ thì:
    $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$