$I=\int\limits\frac{x^5dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\limits\frac{x^4xdx}{\sqrt{1-x^2}}$.  Đặt  $t=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow t^2=1-x^2\Rightarrow -tdt=xdx$

$\Rightarrow I=\int\limits\frac{-(1-t^2)^2tdt}{t}=\int\limits-(1-t^2)^2dt$.  Khai triển hằng đẳng thức và làm nốt nhé.

$I=\int\limits\frac{dx}{\sqrt{(4-x^2)^3}}$.  Đặt $x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos t dt$

$\Rightarrow I=\int\limits\frac{2\cos tdt}{\sqrt{(4-4\sin^2t)^3}}=\int\limits\frac{2\cos tdt}{8\cos^3t}=\frac{1}{4}\int\limits\frac{dt}{\cos^2t}=\frac{1}{4}\tan t+C$

anh ơi, em góp ý 1 chút, chỗ này nhầm $\ln|\frac{t-1}{t+1} |$, phải bằng  $\ln|\frac{t+1-1}{t+1+1} |=\ln|\frac{t}{t+2} |+C$

$I=\int\limits\frac{dx}{\sqrt[3]{x+1} \left[ {\sqrt[3]{(x+1)^2}+1 } \right]}$  Đặt  $t=\sqrt[3]{x+1}\Leftrightarrow t^3=x+1\Rightarrow 3t^2dt=dx$


$\Rightarrow I=3\int\limits\frac{t^2dt}{t(t^2+1)}=3\int\limits\frac{tdt}{t^2+1}=\frac{3}{2}\ln|t^2+1|+C$

$I=\int\limits\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int\limits\frac{x^2.xdx}{\sqrt{1-x^2}}$.

 Đặt  $t=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow t^2=1-x^2\Rightarrow -tdt=xdx$

$\Rightarrow I=-\int\limits\frac{(1-t^2)tdt}{t}=-\int\limits(1-t^2)dt=-(t-\frac{t^3}{3})+C$

$I=\int\limits\frac{dx}{2x\sqrt{2x+1}}$.  Đặt  $t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow t^2=2x+1\Rightarrow tdt=dx$

$\Rightarrow I=\int\limits\frac{tdt}{(t^2-1)t}=\int\limits\frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\ln|\frac{t-1}{t+1}|+C$

bài 3  Ta có  $AB=AD+DB$

                     $BC=BE+EC$

                     $AC=CF+FA$

Do  $AB=BC=AC$ và $AD=BE=CF\Rightarrow DB=EC=FA$

Xét  $\Delta ADF$  và  $\Delta BED$  có: $AD=BE, AF=BD, \widehat{A}=\widehat{B}\Rightarrow \Delta ADF=\Delta BED(c.g.c)\Rightarrow DF=DE   (1)$

CM tương tự ta cũng có  $\Delta ADF=\Delta CFE\Rightarrow DF=FE  (2)$

Từ (1) và (2 ) suy ra  $DF=DE=FE\Rightarrow \Delta DEF$ là tam giác đều

$I=\int\limits\frac{dx}{\sqrt{4x^2-4x+2}}=\int\limits\frac{dx}{\sqrt{(2x-1)^2+1}}$

Đặt   $2x-1=\tan t\Rightarrow dx=\frac{dt}{2\cos^2t}$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int\limits\frac{dt}{\cos^2t\sqrt{\tan^2t+1}}=\frac{1}{2}\int\limits\frac{dt}{\cos^2t\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}}}=\frac{1}{2}\int\limits\frac{dt}{\cos t}$

$=\frac{1}{2}\int\limits\frac{\cos tdt}{1-\sin^2t}=\frac{1}{2}\int\limits\frac{d(\sin x)}{1-\sin^2x}$$=\frac{1}{4}\int\limits(\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x})d(\sin x)$

$=\frac{1}{4}(-\ln|{1-\sin x}|+\ln|1+\sin x|)=\frac{1}{4}\ln|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}|+C$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$I=\int\limits\frac{(2x^3-x)dx}{x^4-x^2}=\int\limits\frac{2x^2-1}{x(x-1)(x+1)}dx=\int\limits(\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)})dx$

$=\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$

$I=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{dx}{(e^{\frac{x}{3}}+2)^2}=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{e^{\frac{x}{3}}dx}{e^{\frac{x}{3}}(e^{\frac{x}{3}}+2)^2}$

Đặt   $t=e^{\frac{x}{3}}+2\Rightarrow dt=\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}dx\Leftrightarrow 3dt=e^{\frac{x}{3}}dx$

Đổi cận:  $x=0\Rightarrow t=3$               
              $x=3\ln2\Rightarrow t=4$

$\Rightarrow I=3\int\limits_{3}^{4}\frac{dt}{t^2(t-2)}=3\int\limits_{3}^{4}(\frac{1}{4(t-2)}-\frac{1}{4t}-\frac{1}{2t^2})dt$  (sử dụng đồng nhất thức để tách)

$=3(\frac{1}{4}\ln|t-2|-\frac{1}{4}\ln|t|+\frac{1}{2t})|^4_3=\frac{3}{4}\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{8}$

$\int\limits\frac{dx}{e^x+1}=\int\limits(1-\frac{e^x}{e^x+1})=x-\int\limits\frac{e^x}{e^x+1}dx$

$=x-\int\limits\frac{d(e^x+1)}{e^x+1}=x-\ln|e^x+1|+C$

a, $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow 3\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}-4\tan^3x\cos^3x=0$

$\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.(dễ rồi, giải ra tìm x)

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\tan^8x)dx$