$\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{\sin x}{\cos^2x}dx=\int\limits_{0}^{\pi}-\dfrac{d(\cos x)}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}|_0^\pi=-2$

1, $\frac{9^x-3^{x+2}+27}{3^{1-x}}<9^x$

2,  $\frac{2}{9^x-3^{x+1}}\geq \frac{-1}{3^x+5}$

+ $y=\frac{x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\frac{2}{(x+1)^2}$    $(x\neq -1)$

Phương trình đường thẳng (d) qua $A(1,9)$ với hệ số góc k có dạng:  $y=k(x-1)+9$

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đths khi hệ sau có nghiệm:

$\begin{cases}\frac{x-1}{x+1}=k(x-1)+9 \\ \frac{2}{(x+1)^2}=k  \end{cases}$

Giải hpt này ra cho 2 nghiệm  $k=8\veebar k=2$

Vậy có 2 pttt là:  $y=8(x-1)+9=8x+1$  và  $y=2(x-1)+9=2x+7$

+ $y'=-4x^3-2x$

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{6}x-1\Rightarrow $ hệ số góc của tt là $k=-6$
 
$\Rightarrow $ ta có pt  $y'(x_0)=-6\Leftrightarrow -4x_0^3-2x_0+6=0\Leftrightarrow x_0=1\Rightarrow y_0=4$

Vậy pttt là:  $y=-6(x-1)+4=-6x-2$

$I=\int \cos^22xdx$. Hạ bậc  $\cos^22x=\frac{1+\cos4x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos4x$

Vậy  $I=\int(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos4x)dx=\int\frac{1}{2}dx+\frac{1}{8}\int\cos4x.d(4x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin4x$

$\int \dfrac{x}{\left(x+1\right)^3}dx$  .Đặt  $t=x+1\Rightarrow dt=(x+1)'dx=dx$

$=\int \frac{t-1}{t^3}dt=\int(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3})dt=\int(t^{-2}-t^{-3})dt=-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}$

$=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^2}+C$

$\int \dfrac{5x^2-3x-20}{x^2-2x-3}dx=\int(5+\frac{7x-5}{x^2-2x-3})dx=\int(5+\frac{7x-5}{(x-3)(x+1)})dx$

$\int (5+\frac{4}{x-3}+\frac{3}{x+1})dx$ (cái này cũng sử dụng đồng nhất thức) $=5x+4\ln|x-3|+3\ln|x+1|+C$

$\int \dfrac{3x-7}{x^2-5x+6}dx=\int(\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x-2})dx$ (Cái này là sử dụng đồng nhất thức để tách ra)

$=2\ln|x-3|+\ln|x-2|+C$

$\int \dfrac{1}{x^2-7x+12}dx=\int\frac{1}{(x-4)(x-3)}dx=\int(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3})dx$

$=\ln|x-4|-\ln|x-3|+C=\ln|\frac{x-4}{x-3}|+C$

$\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\int\frac{dx}{(x-a)(x+a)}=\frac{1}{2a}\int(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx=\frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

$\int \dfrac{x^3-1}{x+1}dx=\int\limits(x^2-x+1-\frac{2}{x+1})dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-2\ln|x+1|+C$

 $\int \dfrac{2x^2+x+1}{x-1}dx=\int\limits(2x+3+\frac{4}{x-1})dx=x^2+3x+4\ln|x-1|+C$

b, CM  $SC$ vg $AEF$

Ta có BC vg (SAB) (cm câu a) $\Rightarrow $ BC vg AE

Lại có AE vg SB $\Rightarrow $ AE vg (SBC) $\Rightarrow $AE vg SC (1)

Tương tự ta cũng có CD vg (SAD) $\Rightarrow $CD vg AF. Lại có AF vg SD $\Rightarrow $ AF vg (SCD) $\Rightarrow $ AF vg SC (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ $SC$ vg $(AEF)$

a, $Stp_{SABCD}=Sxq+S$đáy $=Sxq+a^2$

Tính diện tích xung quanh (bằng tổng S các mặt bên)

+Ta có $S_{\Delta SAB}=S_{\Delta SAD}=\frac{1}{2}SA.AB=\frac{1}{2}2a.a=a^2$

+ Ta có BC vg AB, BC vg SA nên BC vg (SAB) nên BC vg SB $\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại B$\Rightarrow S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}SB.BC=\frac{1}{2}\sqrt{SA^2+AB^2}.BC=\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$

Lại có $\Delta SCD=\Delta SBC\Rightarrow S_{\Delta SCD}=\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$

Vậy Stp của SABCD $=2a^2+2\frac{a^2\sqrt{5}}{2}=(2+\sqrt{5})a^2.$

+ CM  $SC$ vg $(BHK)$

*Ta có $SC$ vg $BK$ (GT) (1)

*Ta có: AC vg AB, AC vg SB $\Rightarrow $ AC vg (SAB) $\Rightarrow $ AC vg BH

Lại có BH vg SA $\Rightarrow $ BH vg (SAC) $\Rightarrow $ $BH$ vg $SC$ (2)

Từ( 1) và (2) $\Rightarrow $ $SC$ vg $(BHK)$

Tính diện tích tam giác nào vậy bạn?