Áp dụng BĐT Cô-si ta có $\sqrt[n]{n!} \le \frac{1+2+\cdots +n}{n}=\frac{n+1}{2}$Do đẳng thức không thể xảy ra nên $\frac{n+1}{2} > \sqrt[n]{n!} \Rightarrow \frac{n+1}{2} \ge \sqrt[n]{n!}+1$, đpcm.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có $\sqrt[n]{n!} \le \frac{1+2+\cdots +n}{n}=\frac{n+1}{2}$Do đẳng thức không thể xảy ra nên $\frac{n+1}{2} > \sqrt[n]{n!}$, đpcm.

chuyển sang nguyên hàm.hê

Tính nguyên hàm: $J = \int \frac{2013sinx + x.cosx - 4xsinx - x(4x - 2014)}{x^2 + xsinx}dx$

Nguyên hàm

chuyển sang nguyên hàm.hê

Tính nguyên hàm: $J = \int \frac{2013\sin x + x.\cos x - 4x\sin x - x(4x - 2014)}{x^2 + x\sin x}dx$

Nguyên hàm

làm vài bài tích phân

Tính tích phân: $\int_{-2012}^{2012}ln((\sqrt{x^{2010}+1}+x^{1005}))dx$

Tích phân

bài tích phân

Tính tích phân: $\int_{-2012}^{2012}\ln((\sqrt{x^{2010}+1}+x^{1005}))dx$

Tích phân

bài này với

$1+\sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}{2}$

Bất đẳng thức Cô-si

Bất đăng thức với n

$1+\sqrt[n]{n!} \le \frac{n+1}{2}$

Bất đẳng thức Cô-si

vẽ đồ thị

$\left| {y} \right|=\left| {2^{\cot x}} \right|$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

vẽ đồ thị

$y={2^{\cot x}} $

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

phan so

an co mot so keo, an cho ban 1/3 so keo. an an 3 cai thi con lai dung 3 cai. hoi luc dau an co bao nhieu cai keo

Các phép toán trên tập hợp

phan so

An co mot so keo, an cho ban $\frac{1}{3}$ so keo. an an 3 cai thi con lai dung 3 cai. hoi luc dau an co bao nhieu cai keo

Phương trình bậc nhất một ẩn

giải hệ

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}cos(x-y) = \dfrac{1}{4} & & \\ sin(x+y) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} & & \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình

giải hệ

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}\cos(x-y) = \dfrac{1}{4} & & \\ \sin (x+y) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} & & \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}.\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax} +(1-\sqrt[m]{\cos bx})\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\sqrt[m]{\cos bx})\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}}{x^{2}}$, do $\lim_{x\rightarrow 0} \cos ax =1$ta tính $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ax}{x^{2}}.\frac{1}{1+\sqrt[n]{\cos ax}+\cdots+\sqrt[n]{(\cos ax)^{n-1}}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin^2\frac{ax}{2}}{x^2}\frac{1}{n}$$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^2}{2}\left ( \frac{\sin \frac{ax}{2}}{\frac{ax}{2}}\right )^2\frac{1}{n}=\frac{a^2}{2n}$Tương tự ta cũng có $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos bx}}{x^{2}}=\frac{b^2}{2n}$Vậy$L=\frac{a^2+b^2}{2n}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}.\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax} +(1-\sqrt[m]{\cos bx})\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\sqrt[m]{\cos bx})\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}}{x^{2}}$, do $\lim_{x\rightarrow 0} \cos ax =1$ta tính $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ax}{x^{2}}.\frac{1}{1+\sqrt[n]{\cos ax}+\cdots+\sqrt[n]{(\cos ax)^{n-1}}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin^2\frac{ax}{2}}{x^2}\frac{1}{n}$$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^2}{2}\left ( \frac{\sin \frac{ax}{2}}{\frac{ax}{2}}\right )^2\frac{1}{n}=\frac{a^2}{2n}$Tương tự ta cũng có $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}}{x^{2}}=\frac{b^2}{2m}$Vậy$L=\frac{a^2m+b^2n}{2mn}$

giới hạn cho mọi người làm nào

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{cosbx}.\sqrt[n]{cosax}}{x^{2}}$

Giới hạn của dãy số

giới hạn cho mọi người làm nào

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[m]{\cos bx}.\sqrt[n]{\cos ax}}{x^{2}}$

Giới hạn của dãy số

5. Xác suất để cả $4$ học sinh đều là nữ $\frac{C_{10}^4}{C_{25}^4}$Xác suất để cả $4$ học sinh đều là nữ $\frac{C_{15}^4}{C_{25}^4}$Vậy xác suất cần tìm là $1-\frac{C_{10}^4}{C_{25}^4}-\frac{C_{15}^4}{C_{25}^4}$

5. Xác suất để cả $4$ học sinh đều là nữ $\frac{C_{10}^4}{C_{25}^4}$Xác suất để cả $4$ học sinh đều là nam $\frac{C_{15}^4}{C_{25}^4}$Vậy xác suất cần tìm là $1-\frac{C_{10}^4}{C_{25}^4}-\frac{C_{15}^4}{C_{25}^4}$

hệ phương trình có số mũ lớn

\begin{cases}x^2+y^2= 1\\ x^8+y^8=(x^{10}+x^{10}) \end{cases}

Hệ phương trình

hệ phương trình có số mũ lớn

\begin{cases}x^2+y^2= 1\\ x^8+y^8=x^{10}+y^{10} \end{cases}

Hệ phương trình

chứng minh nào

Chứng minh sựu hội tụ, xác định giới hạn của dãy số $\frac{\sum_{k=0}^{n}(3k+1))}{\sum_{k=0}^{n}(2k+3))}$

Giới hạn của dãy số

chứng minh nào

Chứng minh sự hội tụ, xác định giới hạn của dãy số $a_n=\frac{\sum_{k=0}^{n}(3k+1)}{\sum_{k=0}^{n}(2k+3)}$.

Giới hạn của dãy số

b) Ta có$\cos 2\alpha=\cos \widehat{AMC}=\frac{MH}{AM}=\frac{2(BM-BH)}{BC}=1-2\frac{BH}{BC}=1-2\frac{BH.BC}{BC^2}=1-2\frac{AB^2}{BC^2}=1-2\sin^2 \alpha$, đpcm. Ta biết rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1$ nên các đẳng thức còn lại dễ dàng để chứng minh.

b) Ta có$\cos 2\alpha=\cos \widehat{AMC}=\frac{MH}{AM}=\frac{2(CM-CH)}{BC}=1-2\frac{CH}{BC}=1-2\frac{CH.BC}{BC^2}=1-2\frac{AC^2}{BC^2}=1-2\sin^2 \alpha$, đpcm. Ta biết rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1$ nên các đẳng thức còn lại dễ dàng để chứng minh.

Hệ khó

Giải hệ phương trình sau$\begin{cases}x^{3}-3x^{2}= y^{3}-3y-2\\ log_y(\frac{x-2}{y-1})+log_x(\frac{y-1}{x-2})= (x-2013)^{3}\end{cases} $

Hệ phương trình mũ, lôgarit

Hệ khó

Giải hệ phương trình sau$\begin{cases}x^{3}-3x^{2}= y^{3}-3y-2\\ \log_y(\frac{x-2}{y-1})+\log_x(\frac{y-1}{x-2})= (x-2013)^{3}\end{cases} $

Hệ phương trình mũ, lôgarit

a) Theo giả thiết ta có$\begin{cases}CH \perp SH \\ CH \perp SA ( \text{do} SA \perp mp(ABC)) \end{cases}\Rightarrow CH \perp mp(SAH) \Rightarrow CH \perp AH$Do đó $HC=AC \cos \alpha =a \cos \alpha$Suy ra $S_{AHC}=\frac{1}{2}AC.HC.\sin \alpha=\frac{1}{4}a^2\sin 2\alpha$Suy ra $V_{S.AHC}=\frac{1}{3}SA.S_{AHC}=\frac{1}{12}a^3\sin 2\alpha \le \frac{1}{12}a^3.$Vậy $\min V_{S.AHC}= \frac{1}{12}a^3\Leftrightarrow \sin 2\alpha=1\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$.

a) Theo giả thiết ta có$\begin{cases}CH \perp SH \\ CH \perp SA ( \text{do} SA \perp mp(ABC)) \end{cases}\Rightarrow CH \perp mp(SAH) \Rightarrow CH \perp AH$Do đó $HC=AC \cos \alpha =a \cos \alpha$Suy ra $S_{AHC}=\frac{1}{2}AC.HC.\sin \alpha=\frac{1}{4}a^2\sin 2\alpha$Suy ra $V_{S.AHC}=\frac{1}{3}SA.S_{AHC}=\frac{1}{12}a^3\sin 2\alpha \le \frac{1}{12}a^3.$Vậy $\max V_{S.AHC}= \frac{1}{12}a^3\Leftrightarrow \sin 2\alpha=1\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$.