Ta có : $\frac{a}{b^{3}+2}$ = $\frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{3}}{b^{3}+2} \right )$= $\frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{3}}{b^{3}+1+1} \right )$
$\geq$ $\frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{3}}{3b} \right )$ = $\frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab^{2}}{3}\right )$
Do đó:
$\Sigma$$\frac{a}{b^{3}+2}$$\geq$$\frac{1}{2}\Sigma \left ( a- \frac{ab^{2}}{3}\right )$.
Ta sẽ chứng minh:
$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4$
Thật vậy không mất tính tổng quát, giả sử b nằm giữa a và c, thế thì $a\left ( b-a \right )\left ( b-c \right )$$\leq$ 0.
Theo BĐT AM-GM thì:
$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc$ = $b\left ( a+c \right )^{2}-a\left ( b-a \right )\left ( b-c \right )$ $\leq$ $b\left ( a+c \right )^{2}$$\leq$ $4$
Do đó: $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$$\leq$ $3$.
Vậy $\Sigma \frac{a}{b^{3}+2}$$\geq$$\frac{1}{2}\Sigma a-\frac{1}{2}$$\geq$$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ (đpcm)