Tính
$S=\frac{1}{1.2.C^0_n}+\frac{1}{2.3.C^1_n}+...+\frac{1}{(n+1)(n+2)C^ n_n}$

Thấy $(1+x)^a=\sum_{k=0}^{a}x^k $
Đặt $A=(1+x)^m, B=(1+x)^n,C=(1+x)^{m+n}$
Hệ số x^k trong C là: $C^{k}_{m+n}$
Hệ số x^k trong $A\times B$ là VT
nên VT=VP

Đặt $A =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$
$2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$
$A=2A-A=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$

Giải pt:
 $2sin3x(1-4sin^2x)=1$

PT $\Leftrightarrow (2sinx.cosx-cosx)+(-1+2sin^2x+3sinx-1)=0$
$\Leftrightarrow (2sinx-1)(cosx+sinx+2)=0$
Còn lại bạn tự giải nhé

PT $\Leftrightarrow (cos^3x-sin^3x)-(cos^2x-sin^2x)=0$
$\Leftrightarrow (cosx-sinx)(cos^2x+sinx.cosx+sin^2x-cosx-sinx)=0$
Với $cos^2x+sinx.cosx+sin^2x-cosx-sinx=0$
Đặt $t=sinx+cosx\Rightarrow cos^2x+2sinx.cosx+sin^2x=t^2\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}$
Thay vào giải, nhớ $-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$

Mình nghĩ đề là: 
$3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x\Leftrightarrow sin9x-\sqrt{3}cos9x=1$
$\Leftrightarrow sin(9x-\frac{\pi }{3})=sin\frac{\pi }{6}$

Câu 5
$M=(a+b/2)^2-2(a+b/2)\times 3/2+9/4+3/4(b^2-2b+1)+1998$
$M=(a+\frac{b}{2}-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\left ( b-1 \right )^2+1998\geq 1998$
Dấu bằng xảy ra khi b=1,a=1

ĐK:$x\geq 8$
Vì $x+1>x-8\Rightarrow A>0$
Từ gt có: $(A+\sqrt{x-8})^2=x+1\Leftrightarrow A^2+2A\sqrt{x-8}=9$
Mà $2A\sqrt{x-8}\geq 0\Rightarrow A^2\leq 9\Rightarrow A\leq 3$

Dấu bằng xảy ra khi $2A\sqrt{x-8}=0\Leftrightarrow x=8$

$A=-(x-1)^2+5\leq 5$
$ Amax=5\Leftrightarrow x=1$
$B=-(x-2)^2+4\leq 4$
$Bmax=4\Leftrightarrow x=2$
$C=-(x-2)^2+7\leq 7$
$Cmax=7\Leftrightarrow x=2$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho:
chữ số 1 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 2 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 3 xuất hiện ít nhất 1 lần.

Câu 2
$a^2(a+1)-b^2(b-1)+ab-3ab(a-b+1)$
$=[a^3-3ab(a-b)-b^3]+(a^2+b^2-2ab)=(a-b)^3+(a-b)^2=1010000$

Có 6 cầu thủ để chọn ra 3 người đá quả 2,3,5
Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử là: 120

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống DE
Tứ giác BDHE nội tiếp nên $\widehat{BEK}=\widehat{BAC}\Rightarrow $ tam giác BKE đồng dạng với BHA (1)
$\Rightarrow \widehat{EBK}=\widehat{ABH}=\pi /2-\widehat{BAC}=\frac{\pi -\widehat{BOC}}{2}=\widehat{CBO}$
nên B,O,K thẳng hàng
Có $\frac{BH.AC}{2}=\frac{AB.BC.CA}{4R}\Rightarrow AB.BC=2\sqrt{2}R^2$
Có $BE.BC=BH^2=2R^2$
Từ (1) có $\frac{BK}{BH}=\frac{BE}{BA}=\frac{BE.BC}{BA.BC}=\frac{2R^2}{2\sqrt{2}R^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
nên BK=R=BO. Mà B,O,K thẳng hàng nên O trùng K nên DE đi qua O.