ko gian mẫu $C^5_{11}=462$
khả năng chỉ có 1 bạn nữ: $C^1_7.C^4_4=7$
kết quả thuận lợi: $462-7=455$

Tìm số thực m lớn nhất sao cho tồn tại các số thực không âm x,y,z thỏa mãn:
\begin{cases}x+y+z=4 \\ x^3+y^3+z^3+8(xy^2+yz^2+zx^2)=m \end{cases}

Tìm $I=\int\limits_{}^{}\frac{x}{lnx}dx$

hình như thiếu điều kiện $b^2<4ac$ thì phải?
Khi đó sử dụng Bunhiacopxki ở PT(2) đc x=y. Thay PT(1):
$(4-x)\sqrt{x-2}+\sqrt{7-2x}=\sqrt{85-57x+13x^2-x^3}$
$VP^2\leq ((4-x)^2+1)(x-2+7-2x)=VP^2$
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{\sqrt{x-2}}{4-x}=\sqrt{7-2x}$
Bình phương đc x=3 nên y=3

gọi K là trung điểm BD. H là trung điểm AB thì H là trung điểm KD.
gọi N là trung điểm BC thì KN là đtb tam giác BCD nên KNMD là hình thang
đtb hình thang KNMD sẽ đi qua H và đi qua trung điểm MN (1)
mà đtb hình thang KNMD song song DM nên đtb hình thang KNMD vuông góc MN (2)
(1) (2) suy ra đtb hình thang KNMD là đường trung trực MN
nên HM=HN=1/2 AB (do tam giác ABN vuông tại N)
HM=1/2 AB nên tam giác AMB vuông tại M

Cho tam giác ABC cân tại A. D thuộc cạnh AB thỏa mãn AD=AB/3. H là hình chiếu B trên DC. M là trung điểm HC. CMR: AM vuông góc BM
P/s: cách nào cũng đc, nhưng sử dụng tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng thì càng tốt ;)

câu 2
Viết pt BC: qua N, vuông góc DC
tìm C là giao BC và DC.tìm B: N là trung điểm BC
tìm D: là giao DC với đường tròn tâm C bán kính BC
tìm I là trung điểm BD
tìm A: I là trung điểm AC

x nam. 30-x nữ, cô ca a xiền, phô mai b xiền
lần 1 cả lớp hết $ax+b(30-x)$
lần 2 cả lớp hết $a(30-x)+bx$
nên
$ax+b(30-x)=a(30-x)+bx+2\Leftrightarrow (a-b)(x-15)=1$
nam hơn nữ nên x>15.
a,b,x nguyên nên a-b=1, x-15=1 nên 16 nam 14 nữ

ĐK có nghiệm $x \geq 0$
Thấy x=0 là nghiệm PT. Xét x khác 0:
$PT \Leftrightarrow \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}-1}.(\sqrt{2x^4-2x^2+1}+x^2-1)=x^3$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^4-2x^2+1}+x^2-1=x(\sqrt{1+x^2}-1)$ (*)
$PT\Leftrightarrow (\sqrt{1+x^2}+1).\frac{x^4}{\sqrt{2x^4-2x^2+1}-x^2+1}=x^3$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^4-2x^2+1}-x^2+1=x(\sqrt{1+x^2}+1)$ (**)
Trừ vế (*)-(**):
$x^2-1=-x$
Đối chiếu ĐK tìm x

thấy tam giác IDC vuông cân. từ I kẻ đường thẳng tạo với DC góc 45 độ, tìm D,C
diện tích hình thang=1/2*AC*BD=1/2*BC^2, tính BC
tìm B là gia điểm đường tròn tâm C bán kính BC với đường thẳng ID
lập pt BC

PT(1) $\Leftrightarrow x+y=\frac 3x-1$
Thay PT(2) tìm x rồi tìm y

PT(1): $2xy-x+4y=(2y+1)\sqrt{x^2+2y}$
$\Leftrightarrow (2y+1)(-\sqrt{x^2+2y}+x+1)+2y-2x-1=0$
$\Leftrightarrow (2x-2y+1)(\frac{2y+1}{x+1+\sqrt{x^2+2y}}-1)=0$
$\Leftrightarrow (2x-2y+1)(2y-x-\sqrt{x^2+2y})=0$
$\Leftrightarrow (2x-2y+1).\frac{2y(2y-2x-1)}{2y-x+\sqrt{x^2+2y}}=0$
$\Leftrightarrow 2x-2y+1=0$ (do ĐKXĐ nên y>0)
Thay PT(2):
$3x-2=\sqrt{4x-1}+\sqrt{3x^2+2x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1-\sqrt{4x-1})+(2x-1-\sqrt{3x^2+2x-1})=0$
$\Leftrightarrow (x^2-6x+2).\frac{3x-2+\sqrt{4x-1}+\sqrt{3x^2+2x-1}}{(x-1-\sqrt{4x-1})(2x-1-\sqrt{3x^2+2x-1})}=0$
$\Leftrightarrow x^2-6x+2=0$
...

BĐT cần chứng minh
$\Leftrightarrow (2a+1)(2b+1)+(2b+1)(2c+1)+(2c+1)(2a+1) \geq (2a+1)(2b+1)(2c+1)$
$\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$ (đúng do áp dụng bđt cô-sy được $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$)

cách này a đi hỏi :3
$\sum_{}^{}(\frac{1}{a^2}+2ab)\geq 9=(a+b+c)^2\Rightarrow $ (đpcm)

Cho $x,y>0$ và $x+y+1=3xy.$ Tìm GTLN:
$P=\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{3y}{x(y+1)}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$