Bài 2 Đặt $\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}=\frac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z,b\neq 0$$\Rightarrow xb-ya =\sqrt{2011}\left ( yb-az \right )$Có $ xb-ya\in Z, yb-az\in Z\Rightarrow yb-az=xb-ya=0$$\Rightarrow bx=ay,by=az\Rightarrow y^{2}=xz$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+2xz+z^{2}-y^{2}=\left ( x+z-y \right )\left ( x+z+y \right )$ là số nguyên tố$\Rightarrow x+z-y=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=x+y+z$$\Rightarrow x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )=0\Rightarrow x=y=z=1$ vì $x,y,z$ là nguyên dươngBài1 $\frac{13}{x}+\sqrt{2012}=\frac{13+x\sqrt{2012}}{x}$ là số nguyên$\Rightarrow x\in Q$ (vì tử số nguyên)$\Rightarrow x+\sqrt{2012}\notin Z$Vậy không có $x$ thỏa mãn

Bài 2 Đặt $\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}=\frac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z,b\neq 0$$\Rightarrow xb-ya =\sqrt{2011}\left ( yb-az \right )$Có $ xb-ya\in Z, yb-az\in Z\Rightarrow yb-az=xb-ya=0$$\Rightarrow bx=ay,by=az\Rightarrow y^{2}=xz$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+2xz+z^{2}-y^{2}=\left ( x+z-y \right )\left ( x+z+y \right )$ là số nguyên tố$\Rightarrow x+z-y=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=x+y+z$$\Rightarrow x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )=0\Rightarrow x=y=z=1$ vì $x,y,z$ là nguyên dươngBài1 $\frac{13}{x}+\sqrt{2012}=\frac{13+x\sqrt{2012}}{x}$ là số nguyênNếu $13+x\sqrt{2012}=0 $ dễ dàng thấy x không thỏa mãnNếu $13+x\sqrt{2012} \neq 0$$\Rightarrow x\in Q$ (vì tử số nguyên)$\Rightarrow x+\sqrt{2012}\notin Z$Vậy không có $x$ thỏa mãn

Vì $x$ là ước của 6, $x\in Z$ nên tồn tại số nguyên a sao cho $xa=6$ $\Rightarrow 3ax=18$Vì $a\in Z\Rightarrow 3a\in Z\Rightarrow $ $x$ là ước của 18Vậy $\forall x\in A\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\subset B$

Vì $x$ là ước của 6, $x\in Z$ nên tồn tại số nguyên a sao cho $xa=6$ $\Rightarrow 3ax=18$Vì $a\in Z$ $\Rightarrow 3a\in Z$ nên x là ước của 18Vậy $\forall x\in A$ thì $x\in B$.Vậy $A\subset B.$

x-1/x =n là số nguyênsuy ra x^2 -1 =nx x^2 -nx -1=0 \Delta = n^2 +4 >0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x= ( n \sqrt{n^2+4}) /2 Thay bất kì n là số nguyên được x thỏa mãn

Giả sử x - $\frac{1}{x}$ = n (n là số nguyên) (x $\neq $ $\pm $1 và x $\neq 0$)$\Rightarrow $ $x^{2}$ - 1 = nx$\Rightarrow $ $x^{2}$ - nx -1 = 0Có $\Delta $ = $n^{2}$ + 4 > 0$\Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm phân biệtx = $\frac{n \pm \sqrt{\Delta }}{2}$ = $\frac{n \pm \sqrt{n^{2}+4}}{2}$Thay n là số nguyên bất kì ta được 1 giá trị của xn=1 $\Rightarrow $ x = $\frac{1 \pm \sqrt{5} }{2}$

x-\frac{1}{x} =n là 1 số nguyên\Rightarrow x^{2} - 1 = n\times x\Rightarrow x^{2} - n\times x -1 =0\Delta = n^{2} +4 \geq 0\Rightarrow x=\frac{n\pm \sqrt{\Delta } }{2}

x-1/x =n là số nguyênsuy ra x^2 -1 =nx x^2 -nx -1=0 \Delta = n^2 +4 >0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x= ( n \sqrt{n^2+4}) /2 Thay bất kì n là số nguyên được x thỏa mãn