Áp dụng BĐT Bunhiacopxki $\left ( x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y} \right )^{2}\leq \left ( x+2y \right )\left ( 3xy-x-2y \right )\leq \frac{\left ( x+2y+3xy-x-2y \right )^{2}}{4}=\left ( \frac{3xy}{2} \righ )^{2}$hay $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{3xy}{2}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$Thay vào phương trình ta được $x=y=2$

Điều kiện $x\geq 1,y\geq 1$Áp dụng BĐT Bunhiacopxki$\left ( x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y} \right )^{2}\leq \left ( x+2y \right )\left ( 3xy-x-2y \right )\leq \frac{\left ( x+2y+3xy-x-2y \right )^{2}}{4}$hay $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{3xy}{2}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$Thay vào phương trình ta được $x=y=2$

Bài 2 Đặt $\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}=\frac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z,b\neq 0$$\Rightarrow xb-ya =\sqrt{2011}\left ( yb-az \right )$Có $ xb-ya\in Z, yb-az\in Z\Rightarrow yb-az=xb-ya=0$$\Rightarrow bx=ay,by=az\Rightarrow y^{2}=xz$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+2xz+z^{2}-y^{2}=\left ( x+z-y \right )\left ( x+z+y \right )$ là số nguyên tố$\Rightarrow x+z-y=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=x+y+z$$\Rightarrow x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )=0\Rightarrow x=y=z=1$ vì $x,y,z$ là nguyên dươngBài1 $\frac{13}{x}+\sqrt{2012}=\frac{13+x\sqrt{2012}}{x}$ là số nguyên$\Rightarrow x\in Q$ (vì tử số nguyên)$\Rightarrow x+\sqrt{2012}\notin Z$Vậy không có $x$ thỏa mãn

Bài 2 Đặt $\frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}=\frac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z,b\neq 0$$\Rightarrow xb-ya =\sqrt{2011}\left ( yb-az \right )$Có $ xb-ya\in Z, yb-az\in Z\Rightarrow yb-az=xb-ya=0$$\Rightarrow bx=ay,by=az\Rightarrow y^{2}=xz$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+2xz+z^{2}-y^{2}=\left ( x+z-y \right )\left ( x+z+y \right )$ là số nguyên tố$\Rightarrow x+z-y=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=x+y+z$$\Rightarrow x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )=0\Rightarrow x=y=z=1$ vì $x,y,z$ là nguyên dươngBài1 $\frac{13}{x}+\sqrt{2012}=\frac{13+x\sqrt{2012}}{x}$ là số nguyênNếu $13+x\sqrt{2012}=0 $ dễ dàng thấy x không thỏa mãnNếu $13+x\sqrt{2012} \neq 0$$\Rightarrow x\in Q$ (vì tử số nguyên)$\Rightarrow x+\sqrt{2012}\notin Z$Vậy không có $x$ thỏa mãn

Vì $x$ là ước của 6, $x\in Z$ nên tồn tại số nguyên a sao cho $xa=6$ $\Rightarrow 3ax=18$Vì $a\in Z\Rightarrow 3a\in Z\Rightarrow $ $x$ là ước của 18Vậy $\forall x\in A\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\subset B$

Vì $x$ là ước của 6, $x\in Z$ nên tồn tại số nguyên a sao cho $xa=6$ $\Rightarrow 3ax=18$Vì $a\in Z$ $\Rightarrow 3a\in Z$ nên x là ước của 18Vậy $\forall x\in A$ thì $x\in B$.Vậy $A\subset B.$