Câu1: Giả sử
\sqrt{6} là số hữu tỉ thì:
\sqrt{6} =\frac{m}{n} (Với m\in Z, n\in N^*, (m,n)=1). (1)
\leftrightarrow 6=\frac{m^2}{n^2}\leftrightarrow n^2=\frac{m^2}{6}\rightarrow m^2 chia hết cho 6.
\rightarrow m chia hết cho 6\rightarrow m chia hết cho 2 . (*)
Đặt m=6k, ta có: \frac{(6k)^2}{n^2}=6\leftrightarrow n^2=6k^2\rightarrow n^2 chia hết cho \rightarrow n^2 chia hết cho 2\rightarrow n chia hết cho 2 (2*)
(*), (2*)\rightarrow UC(m,n)= 2 (2)
(1), (2)\rightarrow điều giả thiết là vô lí
---> dpcm
Câu 2: ĐKXĐ: x\geq 1
PT đã cho
\leftrightarrow \sqrt{(x-1)+2.1.\sqrt{x-1}+1 } -\sqrt{(x-1)-2.1.\sqrt{x-1} +1}=2
\leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1} +1)^2} -\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2 } =2
\leftrightarrow \sqrt{x-1} +1-|\sqrt{x-1} -1|=2(*)
(*)\begin{cases}\sqrt{x-1}+1 -\sqrt{x-1}+1=2(đúng) \\ \sqrt{x-1}-1\geq0\end{cases}\leftrightarrow x\geq 2
hay: (*)\leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x-1} +1+\sqrt{x-1} -1=2 \\ \sqrt{x-1}-1\leq 0\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x-1} =1 \\ x\leq 2\end{cases}\leftrightarrow x=2
Vậy: x\geq 2
Câu 3:
\sqrt{(x-1)(4-x)} >x-2\leftrightarrow (I)\begin{cases}(x-1)(4-x)\geq 0\\ x-2\leq 0 \end{cases}
hay \leftrightarrow (II)\begin{cases}(x-1)(4-x)\geq 0\\ x-2\geq 0 \\ (x-1)(4-x)>(x-2)^2\end{cases}
Ta thấy: (I)\leftrightarrow \begin{cases}x\in [1;4] \\ x\leq 2\end{cases}\leftrightarrow x\in [1;2]
(II)\leftrightarrow \begin{cases}x\in [1;4] \\ x\geq 2\\-x^2+5x-4>x^2+4x+4\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}x\in [2;4] \\ 2x^2-x+8<0 \end{cases}(vô nghiệm)
Vậy x\in [1;2]