Câu1: Giả sử
√6 là số hữu tỉ thì:
√6=mn (Với m∈Z,n∈N∗,(m,n)=1). (1)
↔6=m2n2↔n2=m26→m2chia hết cho 6.
→m chia hết cho 6→m chia hết cho 2 . (*)
Đặt m=6k, ta có: (6k)2n2=6↔n2=6k2→n2 chia hết cho →n2 chia hết cho 2→n chia hết cho 2 (2*)
(*), (2*)→UC(m,n)=2(2)
(1), (2)→ điều giả thiết là vô lí
---> dpcm
Câu 2: ĐKXĐ: x≥1
PT đã cho
↔√(x−1)+2.1.√x−1+1−√(x−1)−2.1.√x−1+1=2
↔√(√x−1+1)2−√(√x−1−1)2=2
↔√x−1+1−|√x−1−1|=2(*)
(*)\begin{cases}\sqrt{x-1}+1 -\sqrt{x-1}+1=2(đúng) \\ \sqrt{x-1}-1\geq0\end{cases}\leftrightarrow x\geq 2
hay: (*)\leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x-1} +1+\sqrt{x-1} -1=2 \\ \sqrt{x-1}-1\leq 0\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{x-1} =1 \\ x\leq 2\end{cases}\leftrightarrow x=2
Vậy: x\geq 2
Câu 3:
\sqrt{(x-1)(4-x)} >x-2\leftrightarrow (I)\begin{cases}(x-1)(4-x)\geq 0\\ x-2\leq 0 \end{cases}
hay \leftrightarrow (II)\begin{cases}(x-1)(4-x)\geq 0\\ x-2\geq 0 \\ (x-1)(4-x)>(x-2)^2\end{cases}
Ta thấy: (I)\leftrightarrow \begin{cases}x\in [1;4] \\ x\leq 2\end{cases}\leftrightarrow x\in [1;2]
(II)\leftrightarrow \begin{cases}x\in [1;4] \\ x\geq 2\\-x^2+5x-4>x^2+4x+4\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}x\in [2;4] \\ 2x^2-x+8<0 \end{cases}(vô nghiệm)
Vậy x\in [1;2]