Đặt $a=x+y-z,b=y+z-x,c=z+x-y$.Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng dấu chẳng hạn là $a.b\geq0$.Khi đó ta có đẳng thức:
$\left| {a} \right|+\left| {b} \right|=\left| {a+b} \right|=2\left| {y} \right|$
Ta có: $x+y+z=a+b+c;2x=a+c;2z=b+c$
Do vậy ta cần chứng minh:
$\left| {c} \right|+\left| {a+b+c} \right|\geq \left| {a+c} \right|+\left| {b+c} \right|$(với $a.b\geq0$)
$\Leftrightarrow \left| {c} \right|.\left| {a+b+c} \right|+ab\geq\left| {a+c} \right|.\left| {b+c} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {c(a+b+c)} \right|+ab\geq \left| {c(a+b+c)+ab} \right|(*)$
Đặt $m=c(a+b+c),n=ab\Rightarrow \left| {ab} \right|=ab$(a,b cùng dấu)
$BĐT(*) \Leftrightarrow \left| {m} \right|+\left| {n} \right|\geq \left| {m+n} \right|\Leftrightarrow \left| {mn} \right|\geq mn$
Dấu bằng xảy ra khi trong các số $a,b,c ,a+b+c$ chia làm 2 cặp cùng dấu.Chẳng hạn:$ab\geq0,c(a+b+c)\geq 0$